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GINO FANO 



minato; e inversamente, in ogni piano a del fascio v due degli n raggi della con- 

 gruenza coincidono con v stesso, ma avendo un punto d'incontro A determinato. La 

 corrispondenza fra i punti A e i piani a è proiettiva. 



È questo appunto il tipo generale di un raggio doppio di 2 a specie. Se un punto S 

 di questo raggio doppio è punto singolare della congruenza, il cono di raggi uscente 

 da esso conterrà bensì (o almeno potrà contenere) il raggio v, ma come generatrice 

 semplice ; poiché in un piano generico passante per v questo raggio conta bensì come 

 due fra gli n raggi della congruenza, ma il punto d'incontro di questi due non è 

 in generale S. Soltanto si può affermare che il piano corrispondente a S nella pro- 

 iettività sarà il piano tangente al cono singolare lungo la generatrice v ('). 



Un esempio di un tal raggio doppio lo si ha nella congruenza (2, 2) intersezione 

 di un complesso tetraedrale con un complesso lineare non speciale contenente uno 

 degli spigoli del tetraedro fondamentale ( 2 ). Questo spigolo è appunto quel raggio 

 doppio: esso contiene quattro punti singolari della congruenza, ciascuno dei quali è 

 centro di un fascio di rette di questa. 



14. — Le stesse considerazioni precedenti possono applicarsi a un punto triplo 

 della superficie F, nel quale questa abbia un cono tangente irriducibile e contenuto 

 in uno spazio S 3 ; quindi certo ogni qual volta questo cono (cubico) sia di genere 

 uno (e un tal punto sarà anche certamente punto multiplo proprio). Si ha allora, nella 

 congruenza di cui F è immagine, un raggio triplo v (e di 2 a specie), i cui punti e piani 

 risultano anche riferiti fra loro in una corrispondenza proiettiva L J?. Quando un punto 

 arbitrario si fa tendere a una posizione determinata A sopra v, tre dei raggi della 

 congruenza uscenti da esso tendono a coincidere con ?; e i piani determinati da 

 questi tre raggi a due a due tendono a un medesimo piano del fascio v, che è il 

 corrispondente di A nella proiettività L X. E similmente per un piano il quale tenda 

 a una posizione limite nel fascio v. 



Di raggi tripli così fatti incontreremo alcuni esempi in seguito (§ 7). E raggi 

 di multiplicità superiore non possono esistere nelle congruenze di cui noi dobbiamo 

 occuparci. 



Il sig. Sturm (op. cit., n ! 376, 401) chiama i nostri raggi doppi di l a specie 

 " nothwendige Doppelstrahlen „, e quelli di 2 a specie " mdgliche Doppelstrahlen „, cor- 

 rispondentemente al fatto che una congruenza generale (2,n) priva di linea singolare 

 ha sempre (se n > 3) un numero determinato di raggi doppi della prima categoria, 

 e non ne ha nessuno della seconda; ma esistono tuttavia congruenze particolari (di 

 classe < 6, e se = 6 di 2 a specie) contenenti anche uno o più raggi doppi del se- 



(') Tutto ciò che abbiamo detto sussiste egualmente se il cono T tangente in P alla superficie 

 F si spezza in una coppia di piani contenuta in un S 3 , purché rimanga irriducibile il cono T t in- 

 tersezione di questo S 3 colla M| fondamentale. È noto infatti che in S 6 anche un punto doppio 

 biplanare di una superficie può essere proprio, e lo è se i due piani tangenti stanno in un S 3 e i 

 due intorni del punto hanno, fuori di questo punto, un punto semplice a comune. Se poi il cono T, 

 si spezza a sua volta in due piani, non sembra potersi affermare nulla con sicurezza: certo però 

 dovrà presentarsi questo caso quando il punto P fosse biplanare e improprio, coi piani tangenti 

 contenuti in un S 3 . 



C) Storm, Op. cit., II, p. 196, n° 402. E basterebbe anche prendere un qualsiasi complesso qua- 

 dratico avente un raggio doppio, e un complesso lineare eontenente quest'ultimo raggio. 



