NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 13 



immagine della congruenza un punto multiplo improprio. A tutti questi raggi multipli 

 spetta, come vedremo in seguito, la proprietà caratteristica che, per ogni loro punto, 

 sono completamente indeterminati (nel fascio corrispondente) i piani dei raggi sovrap- 

 posti che ne escono. Gli altri raggi multipli, corrispondenti a punti multipli propri 

 della superficie F, li diremo di 2 a specie. 



13. — Consideriamo invece sulla superficie F immagine di una congruenza (m, n) 

 un punto doppio conico P (supposto esistente) ; questo sarà certamente un punto mul- 

 tiplo proprio. In questo punto la F ammetterà un cono tangente di 2° ordine I", ir- 

 riducibile e perciò contenuto in uno spazio S 3 . Questo S 3 segherà la quadrica (M*) 

 fondamentale anche in un cono quadrico r u che supponiamo (e che sarà pure in ge- 

 nerale) irriducibile e distinto da l~. Al punto P corrisponderà nella congruenza un 

 raggio v, doppio per questa. Consideriamo ora sulla M4 fondamentale un piano qual- 

 siasi tt x dell'uno dell'altro sistema, il quale si muova su di essa in modo deter- 

 minato, tendendo come posizione limite a un piano generico tt (dello stesso suo si- 

 stema) passante per P. Allora due delle m n intersezioni di Tr t colla superficie F, 

 e siano P t e P 2 , tenderanno a P come posizione limite; e le rette PP X e PP 8 tende- 

 ranno a coincidere con certe due tangenti della superficie F nel punto P, ossia con 

 certe due generatrici t v e t t del cono Y. Consideriamo ancora la retta PiP 2 . Essa è 

 intersezione del piano tt u che ha come posizione limite tt, col piano P P l P 2 , che ha come 

 limite il piano t v t,; dunque i due piani (certo distinti) tt e t x t % avranno a comune una 

 retta, che sarà posizione limite di P t P 2 ; e che, appartenendo (perchè contenuta nel 

 piano titz) allo spazio S 3 del cono f~, sarà l'intersezione di questo S., col piano tt, ossia 

 una determinata generatrice q del cono Anzi, non essendo contenuta in tt che 

 una sola generatrice di quest'ultimo cono, se ne conclude che la stessa retta q sarà 

 sempre la posizione limite di PiP 2 , in qualunque modo si scelga (nello stesso sistema 

 primitivo) il piano ttì sulla MI , e in qualunque modo lo si faccia poi avvicinare a tt. 

 Interpretando questo per la nostra congruenza, abbiamo: 



Facendo tendere un punto piano qualsiasi ad un punto piano determinato ap- 

 partenente al raggio doppio v, due fra i raggi della congruenza appartenenti a quel 

 punto piano tendono a coincidere con v, ma in guisa tale che il fascio da essi deter- 

 minato tende ad una posizione limite completamente individuata, e che dipende soltanto 

 dal punto piano di v considerato. 



In altri termini: La punteggiata e il fascio di piani v possono riferirsi in una 

 corrispondenza biunivoca e quindi proiettiva — e che è precisamente la proiettività 

 l X determinata dalla congruenza lineare speciale avente per immagine il cono I - ! — , 

 la quale gode della proprietà seguente : Ogni qual volta un punto qualsiasi si avvi- 

 cina indefinitamente a un punto determinato A di v, due fra gli m raggi della con- 

 gruenza uscenti da quel punto si avvicinano indefinitamente fra loro e a » in modo 

 che il loro piano tende al piano a omologo di A nella proiettività C J*. E viceversa, 

 ogni qual volta un piano arbitrario si fa tendere alla posizione a del fascio v, due 

 delle n rette della congruenza in esso contenute tendono a coincidere con v, ma in 

 modo che il loro punto d'incontro ha per posizione limite A. 



Sotto altra forma ancora, si può dire che per ogni punto A del raggio v i due 

 raggi coincidenti (con v) che ne escono stanno in un piano a completamente deter- 



