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GINO FANO 



comune con y, saranno SF e SFj due raggi semplici della congruenza che hanno 

 ancora per sostegno comune la n, ma sono ora infinitamente vicini (nella congruenza), 

 perchè cosi avviene dei fuochi e piani focali dell'uno rispetto agli analoghi elementi 

 dell'altro. Ad es., i piani focali corrispondenti al fuoco comune S sono i piani tan- 

 genti alla superficie focale nei due punti consecutivi F e F lt e gli altri due piani 

 focali sono due piani tangenti consecutivi del cono tangente in S alla superficie focale. 



La natura stessa di questo raggio doppio u (risultante da due raggi semplici 

 che hanno una medesima retta per sostegno) permette anche di rendersi ragione fin 

 d'ora di una proprietà che soltanto in seguito (n° 26) riceverà fondamento e signi- 

 ficato preciso; vale a dire che, per un punto qualunque di u, è completamente inde- 

 terminato, nel fascio ti, il piano dei due raggi sovrapposti che ne escono Diremo 

 perciò : 



Ogni generatrice doppia di un cono singolare della congruenza (colle esclusioni 

 stabilite) è anche raggio doppio della congruenza e precisamente in guisa tale che ogni 

 piano che la contiene può considerarsi come piano dei due raggi uscenti da un punto 

 qualunque di essa e ad essa sovrapposti. 



Viceversa, ogni raggio doppio di una congruenza, il quale risulti dalla sovrap- 

 posizione di due raggi semplici e non isolati uscenti da un dato punto singolare, è 

 generatrice doppia del cono singolare uscente da questo punto. 



Considerazioni analoghe possono farsi pei raggi tripli o di multiplicità superiore. 



12. — I raggi doppi (o tripli, ecc.) della congruenza dianzi considerati risul- 

 tano, come si è detto, da due o più raggi semplici aventi una medesima retta u per 

 sostegno, e che non sono in generale posizioni consecutive di un raggio variabile 

 entro la congruenza, ma possono tuttavia essere tali. A questi raggi corrisponde- 

 ranno pertanto sulla superficie F immagine della congruenza dei punti multipli risul- 

 tanti anche, per così dire, dalla materiale sovrapposizione di due o più punti semplici 

 della stessa superficie. Da ciò possiamo trarre due conseguenze importanti: 



1° Questi punti multipli — e diciamo in generale k^ n — sono ^-planari; o più 

 esattamente, il cono tangente alla superficie F in ciascuno di essi si spezza in h piani; 

 senza escludere però che tali piani possano coincidere in parte o tutti. Questi piani 

 saranno tangenti rispett. a altrettante falde della superficie passanti per il punto 

 multiplo considerato ; 



2° Gli stessi punti multipli sono anche impropri, ossia una sezione iperpiana 

 generica di F passante per uno di questi punti ha lo stesso genere p di una sezione 

 affatto arbitraria (e non genere inferiore). Anche questa proprietà è conseguenza 

 immediata del fatto che si tratta di punti i quali sono immagini di un certo numero 

 di punti semplici dell'ente algebrico oo 2 che si considera. 



I raggi multipli dianzi considerati li diremo di prima specie; e, più generalmente, 

 diremo " di prima specie „ ogni raggio multiplo al quale corrisponda sulla superficie 



(') Secondo l'espressione adottata dal sig. Storm (Op. cit., cfr. in part. i n 1 56, 289, 316), potremo 

 dire che, per ogni punto di u, è indeterminato (nel fascio u) uno dei piani corrispondenti a questo 

 punto nel " sistema nullo superiore „ (* hoheres Nullsystem „) determinato dalla congruenza. 



