NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 11 



potranno avere soltanto dei raggi doppi e tripli. Questi raggi, quando ve ne siano, 

 noi li supporremo sempre in numero finito. 



11. Si abbia in una congruenza (m, n) un cono singolare Z A , e sia u una sua 

 generatrice doppia (supposta esistente). 



Può avvenire che ti sia raggio semplice della congruenza; allora ad esso cor- 

 risponderà un punto semplice P della superficie immagine F m+n ; la curva (piana) 

 corrispondente al cono starà nel piano tangente in P a questa superficie, e questo 

 piano starà a sua volta sulla Mj fondamentale. Questo caso si presenterà precisa- 

 mente quando, nel valutare il genere del cono Z A , debba ritenersi u come sede di 

 un ponte di connessione (cfr. n° 9) ; e in particolare ogni qual volta, essendo ridu- 

 cibile il cono Z A , sia u un raggio comune a due parti di esso. Queste generatrici u 

 s'intenderanno escluse nel seguito; epperò in ogni altro caso al raggio u corrisponderà 

 un punto doppio della superficie immagine della congruenza, e u stesso sarà raggio doppio 

 della congruenza. 



Ora il cono di raggi della congruenza uscente da un punto singolare S si com- 

 pone di tangenti condotte da questo punto alla superficie focale ; e una sua genera- 

 trice doppia (colle esclusioni da noi stabilite) è una retta passante per S e tangente 

 alla superficie focale, in generale, in due altri punti. In altri termini, quel cono 

 è tangente alla superficie focale della congruenza lungo una certa linea t (interse- 

 zione o parte dell'intersezione di questa superficie colla prima polare di S); e le 

 sue generatrici doppie provengono da punti doppi apparenti rispetto ad S (o da 

 tangenti, se sono generatrici cuspidali) della curva j. 



Fermiamoci intanto, per maggior chiarezza, sul caso di una retta u passante 

 per S e tangente alla superficie focale in due altri punti distinti F e F x (dunque 

 generatrice doppia non cuspidale del cono singolare). Vi è allora un raggio della 

 congruenza, completamente determinato, che ha i propri fuochi in F e in S, e poi- 

 piano focale corrispondente al fuoco S ha il piano tangente in F alla superficie focale. 

 E vi è un secondo raggio della congruenza che ha per fuochi S e F 1; e per piano 

 focale corrispondente al fuoco S ha il piano tangente alla superficie focale in F x (/). 

 Solo che questi due raggi della congruenza, completamente determinati e distinti 

 l'uno dall'altro, hanno entrambi per sostegno la stessa retta u; e così risulta chiaro 

 che, fra gli m raggi della congruenza uscenti da un punto qualunque di u, vi sono 

 quei due. Ed è perciò appunto che u è raggio doppio della congruenza ( 2 ). 



Se poi u è generatrice cuspidale del cono singolare, essa sarà una tangente 

 della linea y considerata di sopra (e avrà colla superficie focale un contatto almeno 

 tripunto: v. però n° 15). Se F e F x sono i due punti ora consecutivi che essa ha a 



(*) I rimanenti piani focali di questi due raggi sono due distinti piani tangenti alla superficie 

 focale in S. 



( 5 ) Nessuna modificazione si avrebbe se i punti F e F 4 coincidessero in un secondo punto sin- 

 golare della congruenza. Il punto S, come fuoco dell'uno e dell'altro dei due raggi sovrapposti, 

 avrebbe per piani focali rispett. corrispondenti due diversi dei piani tangenti alla superficie focale 

 nel suo punto multiplo PsPj, 



