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GINO FANO 



focali t' e t"; come pure, in generale, gli altri due piani focali, dei quali l'uno è 

 tangente lungo c a P e l'altro a P') ; e di questi due raggi uno appartiene al cono P 

 e l'altro al cono V" . La retta c sarà un raggio doppio improprio (o di P specie) della 

 congruenza, come verrà meglio chiarito nel § seg. 



Il cono complessivo T si comporrà dunque di due coni razionali aventi due soli 

 elementi (raggi) a comune; e potrà perciò appunto considerarsi come proveniente 

 dallo spezzamento di un cono ellittico. Qualcosa di analogo potrebbe dirsi per ogni 

 altro caso, anche se V contenesse una parte eccezionale rispetto alla corrispondenza 

 con V v 



§ 2. 



Raggi multipli di una congruenza. 

 Genere sezionale delle congruenze (3, n) con raggi multipli. 



IO. — Può avvenire che una congruenza (m, n) contenga un raggio u tale che, 

 fra le m o rispett. n rette di essa che appartengono a un punto generico di u o a 

 un piano generico del fascio u, sempre almeno k (> 2) coincidano con u. Si dice 

 allora che u è raggio k pl ° o multiplo di ordine k della congruenza. 



Concepita la congruenza come una superficie F (di ordine m -f- n) dello spazio 

 di rette, e contenuta perciò in un S 5 , si riconosce facilmente che ogni punto A pl ° di 

 questa superficie (ossia ogni punto nel quale coincidano almeno k delle m + n inter- 

 sezioni della superficie con un S 3 passante per esso) è immagine di un raggio & pl ° della 

 congruenza, e inversamente (almeno con una restrizione, che cioè il cono tangente 

 alla F in quel punto non sia tutto contenuto nella Mi fondamentale) ( x ). 



Per una congruenza (m, n) avente soltanto un numero finito di punti e di piani 

 singolari, la multiplicità di un raggio qualunque non può superare il minore dei due 

 numeri m e n. In particolare, le congruenze del 3° ordine prive di linea singolare 



(') Infatti, se un punto P è k° ] ° per la F m +", considerando l'S 3 determinato da un piano della 

 quadrica fondamentale passante per questo punto e da un piano di sistema opposto non passante 

 per P, ma incontrante il primo in una retta, e tali che nessuno dei due abbia infiniti punti a co- 

 mune con F m +", dovranno coincidere in P almeno h delle m-\-n intersezioni di F con questo S 3 ; 

 e quindi, poiché il secondo piano non passa per P, almeno le delle m n sue intersezioni col primo 

 piano: vale a dire a P corrisponderà un raggio A.- Dl ° della congruenza. Viceversa, se sussiste questa 

 proprietà, cadranno in P almeno k delle intersezioni di F con ogni S 3 determinato nel modo anzi- 

 detto. Se dunque P fosse per la F un punto multiplo di ordine < tutti quegli S 3 dovrebbero 

 contenere almeno una generatrice del cono tangente in P alla F. Ora, se questo cono non è con- 

 tenuto nella quadrica fondamentale, si può certo prendere un piano di questa, e quindi un S 3 per 

 questo piano, i quali non contengano nessuna generatrice del detto cono; ma nel caso opposto ciò 

 non è più possibile, sicché allora P risulterebbe per F punto multiplo di ordine <ik. Sarebbe questo 

 il caso in cui il raggio considerato della congruenza incontrasse tutti quelli ad esso infinitamente vi- 

 cini. La restrizione posta si può togliere però se k — 2 ; poiché, anche se il piano tangente a F in 

 un suo punto semplice P stesse sulla quadrica fondamentale, i piani di questa passanti per P e dello 

 stesso sistema del primo non avrebbero con quel piano altri punti a comune. Perciò, senza restri- 

 zioni: Ogni raggio doppio di una congruenza ha per immagine sulla superficie corrispondente un punto 

 doppio di questa. 



