NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Supposto infine che da S non escano raggi isolati della congruenza, si ricava 

 = 2 o i = 3 secondo che il cono T è di genere zero o uno. Dunque: Un punto 

 singolare pel quale non passi nessun raggio isolato della congruenza sarà punto quadruplo 

 o sestuplo della superficie focale, secondo che il cono di raggi della congruenza che ne 

 esce è razionale od ellittico. 



9. — È bene aggiungere qualche avvertenza sul modo in cui questi risultati 

 vanno interpretati. 



È stato già osservato che, per poter applicare la forinola ir — tt^ -|— TT2 -f- i — 1 

 relativa al genere di una curva riducibile, bisogna valutare Tr x o tt 2 in modo oppor- 

 tuno (valendosi ad es. dei ponti di connessione) : quando noi affermiamo pertanto che 

 è ellittico ogni cono di raggi della congruenza il quale esca da un punto sestuplo della 

 superficie focale, intendiamo che deve essere eguale a 1 il genere, debitamente valutato, 

 di questo cono; ma non escludiamo ad es. che il cono stesso possa essere razionale 

 per il fatto di avere come generatrice doppia un raggio semplice della congruenza 

 uscente da S. Quando ciò avvenga, si dovrà considerare questo raggio come sede di 

 un ponte di connessione (semplice), il quale implicherà un aumento di un'unità nel 

 genere virtuale del cono. 



Un'opportuna interpretazione dei risultati precedenti è più che mai necessaria 

 quando il punto S appartiene a un raggio multiplo proprio (o di 2* specie) della con- 

 gruenza (cfr. § seg.): a un raggio tale cioè, che le rigate R" +3 che lo contengono 

 siano di genere < p. In questo caso, nel valutare il genere del cono, si deve inten- 

 dervi compreso anche quel raggio multiplo, ossia la curva (o rigata) fondamentale 

 propria del sistema lineare delle R" +3 rappresentata da quel raggio Questi raggi 

 multipli sono poi a lor volta, come vedremo (n° 15), rette multiple (doppie, quadruple, 

 sestuple) per la superficie focale. 



Diciamo infine qualche parola anche sul modo in cui va concepito un cono ridu- 

 cibile della congruenza. Supponiamo ad es. che l'inviluppo di piani V x di 3 a classe 

 considerato al n° 8 si spezzi in un inviluppo quadrico V\ e in un fascio di piani V'\ con 

 due elementi a e 8 a comune; e, per fissare le idee, che a ciascuna di queste parti 

 corrisponda biunivocamente (nel senso stabilito al n° 4) una certa parte (f, V") del 

 cono T della congruenza. Questi due coni V e V" saranno razionali, e avranno a 

 comune i due raggi a e b della congruenza, completamente determinati, di cui et e 3 

 sono i piani focali corrispondenti al fuoco distinto (in generale) da S. Gli stessi 

 coni V, f potranno avere a comune anche altre generatrici c, d, . . . ; ma una qua- 

 lunque c di queste, secondo che la si considera come raggio dell'uno o dell'altro 

 cono, avrà per piano focale corrispondente al proprio fuoco distinto da S due piani 

 distinti t' e y", appartenenti rispett. a r' t e V" v Pertanto, benché c sia generatrice 

 comune dei due coni V e V", non si può dire che questi, considerati come coni della 

 congruenza, abbiano ivi a comune un raggio di questa ; invece la retta c è sostegno 

 di due raggi della congruenza completamente distinti (poiché ne sono distinti i piani 



(') E del cono così concepito si può ancora affermare che avrà il genere < 1, perchè nel cono- 

 inviluppo T 4 di vertice S (n° 8) sono già compresi i piani focali relativi al raggio multiplo. 



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