8 



GINO FANO 



ducibile o riducibile — si rappresenterà certo birazionalmente, elemento per elemento, 

 sopra un inviluppo di classe < 3 (trascurando l'eventuale parte eccezionale di Tx), e 

 il suo genere ( x ) sarà perciò certo < 1 ( 2 ). E questa proprietà sussisterà altresì ornando 

 il cono T contenga qualche parte eccezionale ; poiché, se vi sono oo 1 raggi a aventi 

 un medesimo piano focale a — e questi raggi non potranno formare evidentemente 

 che il fascio S (a) — , la parte residua f di T avrà con questo fascio un solo ele- 

 mento a comune (o al più due, se a è elemento doppio di r \ ; nel qual caso però f 

 sarebbe certo di genere zero). Pertanto, l'aggiunta del fascio eccezionale lascerà 

 invariato il genere del cono di raggi; o tutt'al più, se era zero, lo farà diventare = 1. 



Diremo perciò: I coni singolari di una congruenza (3, n), siano pure irriducibili 

 o riducibili, sono tutti di genere zero /oppure di genere uno (e diremo anche breve- 

 mente razionali od ellittici, senza intendere esclusi i casi di riducibilità). 



Consideriamo ora la rigata R" +3- ' 1 formata dalle rette della congruenza che si 

 appoggiano a una retta qualunque per S (astrazion fatta dal cono l~). Questa rigata 

 che è di genere p — i se il punto S si suppone 2i pI ° (i > 1) per la superficie focale, 

 insieme al cono T che è di genere zero od uno e col quale essa ha al più tre gene- 

 ratrici a comune, dovrà formare una R" +3 complessiva di genere p. Si può anche 

 aggiungere che, se il cono T e la rigata R" +;i ~' ! hanno meno di tre generatrici a 

 comune, vale a dire se dal punto S esce qualche raggio isolato della congruenza, 

 l'inviluppo di piani r x dianzi considerato sarà di classe < 2 (n° 6), e il cono T sarà 

 perciò certo di genere zero. 



Pertanto, se da S escissero due raggi isolati della congruenza, si avrebbero 

 una rigata di genere p — i e un cono di genere zero con una sola generatrice 

 a comune, e formanti insieme una rigata di genere p. Dovrebbe dunque essere ( 3 ) 

 (p — i) — |— — [— 1 — 1 =p, ossia i = 0; il che va escluso. Da nessun punto singolare 

 potrà dunque escire più di un raggio isolato della congruenza. 



Se vi è un raggio isolato, si ricava analogamente i = 1. Un punto singolare dal 

 cui vertice esca un raggio isolato della congruenza è sempre punto doppio per la super- 

 ficie focale; e il cono singolare uscente da esso è sempre di genere zero. 



(') Considerata una congruenza come una superficie, un cono singolare di essa (comunque ridu- 

 cibile) appare come una curva parziale del sistema lineare irriducibile oo 5 formato dalle rigate R n+3 

 intersezioni della congruenza coi complessi lineari; e come tale esso ha un genere determinato, da 

 valutarsi ad es. nel modo stabilito dal sig. Enriques {Introduzione alla geometrìa sopra le superfìcie 

 algebriche, " Mem. della Soc. It. d. Scienze „, s. Ili, t. X, § 16). Questo genere nel caso attuale sarà 

 < 1, perchè se no il cono non potrebbe rappresentarsi che sopra un inviluppo di classe > 3. 



( 2 ) Ogni congruenza di rette può riferirsi in una corrispondenza razionale (1, 2) alla sua super- 

 ficie focale, luogo o inviluppo, facendo corrispondere a ogni raggio di essa i propri fuochi o piani 

 focali. Per un cono singolare di raggi, il sistema dei piani focali corrispondenti si spezza in due parti 

 distinte, ciascuna delle quali risulta riferita biunivocamente a quel cono; ed è appunto una di 

 queste corrispondenze biunivoche che noi ora consideriamo. 



( 3 ) La formola ir = Tri -f ir 2 -j- * — 1 (Noethkr : Ueber die reductiblen algebraischen Cùrven, " Acta 

 Math. „, Bd. 8; Enriques, 1. c.) si può applicare ad ogni curva totale riducibile contenuta in un si- 

 stema lineare irriducibile di genere it sopra una superficie, purché si tenga conto debitamente nel 

 valutare ir, e ir 2 (come noi abbiamo appunto supposto nella nota (') qui sopra) dei ponti di con- 

 nessione sulla superficie di Riemann immagine della curva riducibile. (Superfluo l'osservare che l'i 

 di questa formola, che indica il numero dei punti comuni alle due parti della curva riducibile, non 

 ha nulla a che fare col carattere che nel nostro ragionamento trovasi indicato colla stessa lettera). 



