NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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Se da un punto singolare di una congruenza di ordine m escono t (— 0) raggi 

 isolati di questa congruenza, il cono tangente in quel punto alla superficie focale sarà di 

 classe m — T- 



Applicando quanto precede al caso di una congruenza di 3° ordine abbiamo: 



In un punto singolare di una congruenza di 3° ordine, dal quale non esca alcun 

 raggio isolato di questa, la superficie focale della congruenza ammetterà un cono tangente 

 di 3 a classe ( 1 ). Invece in un punto singolare per il quale passi un raggio isolato della 

 congruenza, questo cono tangente sarà di 2 a classe. Più di un raggio isolato non potrà 

 escire (come vedremo) da nessun punto singolare. 



7. — Consideriamo di nuovo, ma limitandoci d'ora in poi al solo caso di una 

 congruenza (3, n), un punto singolare S vertice di un cono singolare di ordine h della 

 congruenza, e una retta generica l passante per questo punto; di modo cbe la 

 rigata R" +3 di direttrice l si spezzerà in quel cono e in una rigata residua di 

 ordine n . -f- 3 — - h. 



Indichiamo con 2i l'ordine di multiplicità (certo pari; cfr. n° 5) del punto S per 

 la superfìcie focale della congruenza. Poiché questa superficie è di ordine 2p -j- 4, 

 la retta l l'incontrerà, oltre che in S, in altri 2p -j— 4 — 2i punti. Ora nella rigata 

 residua R/ l + 3 -' 1 di direttrice l, e il cui genere indicheremo con p', le terne di gene- 

 ratrici uscenti dai singoli punti di l formano una serie lineare g\, la quale deve 

 contenere 2 (p' -f- 2) terne con un elemento doppio. E queste terne di rette devono 

 essere tutte quelle e quelle soltanto che escono dalle intersezioni di l colla superficie 

 focale (escluso, in generale, il punto singolare S) ; sarà dunque : 



2p' + 4 = 2p + 4 — 2i 



da cui : p' =p — i. Poiché questo ragionamento è anche invertibile, così si può 

 concludere : 



In una congruenza (3, n) di genere sezionale p le rette che si appoggiano a una 

 retta generica passante per un punto singolare il quale sia punto 2i pl ° per la superficie 

 focale formano, astrazion fatta dal cono singolare, una rigata residua di genere p — /, 

 e inversamente. 



8. — Indichiamo con T il cono di raggi della congruenza uscente dal punto 

 singolare S. Ogni raggio a di questo cono ha per piano focale corrispondente a quel 

 suo fuoco che è distinto in generale da S un piano a dell'inviluppo conico V t , di 

 classe < 3 (cfr. n° 6), che è tangente in S alla superficie focale. Fra i coni T e r x 

 nasce così una corrispondenza biunivoca (n° 4). Se dunque il cono f* non contiene 

 nessuna parte che sia eccezionale rispetto a questa corrispondenza (ossia nessuna 

 parte luogo di raggi a aventi un medesimo piano focale a), esso — sia pure irri- 



(') Questo cono, se irriducibile ed ellittico, sarebbe duuque di 6° ordine, con nove generatrici 

 cuspidali. E quando fosse razionale, sarebbe invece (in generale) di 4° ordine, con tre generatrici 

 cuspidali. Di qui si può già intravedere quali saranno le multiplicità dei diversi punti singolari per 

 la superficie focale della congruenza; ma conviene determinarle per altra via, benché indiretta, per 

 non escludere i casi in cui quei coni si spezzino. 



