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GINO FANO 



Vediamo così che fra i due coni (algebrici) di vertice S, il cono singolare della 

 congruenza e il cono ivi tangente alla superficie focale, si può stabilire una corri- 

 spondenza biunivoca (poiché i piani tangenti al secondo cono sono determinati piani 

 focali dei raggi del primo). Se i due coni sono irriducibili, essi avranno dunque lo 

 stesso genere; e se si spezzano, sussisterà questa proprietà per due loro parti le 

 quali si corrispondano biunivocamente nel modo indicato: ma potrà anche darsi che 

 a tutta una parte dell'un cono corrisponda un unico elemento (eccezionale) dell'altro. 



Se poi dal punto singolare S esce anche qualche raggio isolato della congruenza, 

 questo non avrà in generale il punto S per fuoco. 



5. — Considerato un cono singolare T h di un certo ordine h, e una retta gene- 

 rica l passante pel vertice S di questo cono, è chiaro che la rigata di ordine m -j- n 

 delle rette della congruenza che si appoggiano a l (o, come diremo brevemente, la 

 rigata R m+ " di direttrice 1) si spezzerà nel cono Z ft e in una rigata residua di ordine 

 m -f- n — h avente ancora l come direttrice m pla . Applicando a questa retta l e alla 

 rigata residua R m +"-' 1 lo stesso ragionamento che ci ha servito al n° 3 per determi- 

 nare l'ordine u della superficie focale, si trova che il numero di quelle intersezioni 

 di l con questa superficie che non cadono in S è = 2(n — h) (m — 1) — 2r', es- 

 sendo r' (< r) il numero delle coppie di rette della congruenza che, uscendo da un 

 punto di l diverso da S, stanno altresì in un piano per l. 



Senza conoscere pertanto il valore di r', possiamo tuttavia affermare che l'an- 

 zidetto numero di intersezioni è pari (e < u, poiché S appartiene certamente alla 

 superficie focale). E perciò anche: 



Ogni punto singolare di una congruenza è multiplo di ordine pari (> 2) per la 

 superficie focale. 



6. — Supponiamo ora che per il punto singolare S passi anche un numero 

 finito t(-0) di raggi isolati della congruenza. Allora, considerata una retta gene- 

 rica l passante per S e la relativa rigata residua B/" +n ~\ le m generatrici di 

 questa uscenti da S saranno date da quei t raggi isolati e da m — T generatrici 

 (variabili) del cono J. h . Il piano che da l proietta una qualunque g di queste ultime 

 ni — t rette sarà un piano focale della retta stessa; perchè delle n rette della con- 

 gruenza che stanno in un piano generico per l, e delle quali h sono generatrici del 

 cono I A e n — h della rigata R m+n- \ due (una delle prime e una delle seconde) 

 coincidono con g. E il piano considerato sarà precisamente il piano focale corrispon- 

 dente a quel fuoco di g che è distinto (in generale) da S; perchè se no esso dovrebbe 

 sempre toccare il cono T h lungo g stessa. Ciò si vede d'altronde anche diretta- 

 mente (*). Il ragionamento potendosi invertire, si conclude che gli m — t piani che 

 proiettano da l le generatrici comuni al cono I A e alla rigata U m+n ' h sono precisa- 

 mente i piani tangenti che da l stessa possono condursi al cono tangente in S alla 

 superficie focale. Quest'ultimo cono sarà dunque di classe m — T, vale a dire : 



(') Cfr. Sturm, Die Grundgebilde ersten und zweiten Grades der Liniengeometrie in synthetischer 

 Behandlung, Bd. II, p. 11, n° 295. 



