NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 5 



ovvero, introducendo il genere sezionale p : 



(1') \x = 2{m-\-p — 1) v = 2(n-\-p — 1). 



In particolare, per una congruenza di 3° ordine sarà p = 2p -\- 4. 



Sarà bene ricordare brevemente in qual modo si stabilisca la prima delle for- 

 inole (1). Nel fascio di piani che ha per asse una retta generica l dello spazio si 

 considerino come corrispondenti due piani i quali proiettino rette della congruenza 

 uscenti da un medesimo punto di r. Nasce cosi in quel fascio una corrispondenza 

 involutoria d'indice n (ni — 1), la quale avrà 2n (m — 1) elementi uniti (o coinci- 

 denze). Ora queste coincidenze possono verificarsi in due modi diversi: o perchè 

 coincidono le due rette della congruenza che si sono proiettate da l, e questo avviene 

 tante volte quant'è l'ordine u della superficie focale; oppure senza che quelle rette 

 coincidano, e ciò avverrà r volte; tante cioè quante sono le coppie di rette della 

 congruenza che stanno in un fascio con l. Queste ultime coincidenze, per una nota 

 proprietà delle corrispondenze involutorie, devono contarsi due volte; e si avrà 

 perciò \x -\- 2r = 2n {in — 1), da cui segue tosto la prima delle (1). 



4. — Ogni raggio della congruenza ha due fuochi (o punti focali), in generale 

 distinti, nei quali esso è tangente alla superficie focale (*), e per ciascuno dei quali 

 punti esso conta come due fra gli m raggi della congruenza che ne escono; e ha 

 pure due piani focali, che si definiscono in modo duale, e sono precisamente i piani 

 tangenti alla superficie focale nei due fuochi dello stesso raggio. Sotto altra forma, 

 si suole anche dire che ogni raggio della congruenza incontra nei propri fuochi altri 

 due raggi di questa, ad esso infinitamente vicini. Se F e F' sono i due fuochi di un 

 raggio g, e g l e g' sono i due raggi infinitamente vicini a questo che l'incontrano 

 rispettivamente in F e F', i piani (completamente determinati) g~g 1 e gg' saranno tan- 

 genti alla superficie focale rispett. in F' e in F ; e si diranno pure piani focali " cor- 

 rispondenti „ al fuoco F il primo, e al fuoco F' il secondo. 



Se S è un punto singolare della congruenza, ogni raggio g del cono singolare 

 uscente da questo punto ha in S uno dei propri fuochi. Il punto S apparterrà dunque 

 alla superficie focale, e ne sarà anzi (come vedremo fra poco) punto multiplo. Il 

 piano focale di g corrispondente al fuoco S sarà il piano tangente lungo g stesso al 

 cono singolare della congruenza; e questo piano sarà tangente anche alla superficie 

 focale nel secondo fuoco F del raggio g. Viceversa, il piano focale corrispondente 

 al fuoco F sarà tangente in S alla superfìcie focale; e ai fuochi F dei singoli raggi 

 del cono singolare considerato corrisponderanno i diversi piani tangenti in S alla 

 superficie focale, ossia i piani inviluppanti il cono tangente in S a quest'ultima 

 superficie. 



0) Vi sono anche delle congruenze nelle quali ogni raggio ha i propri fuochi coincidenti ; e 

 queste congruenze, se prive di linea singolare, si compongono di tangenti principali (ossia tripunte) 

 della rispettiva superficie focale. Questo caso s'intenderà escluso in seguito; ma le congruenze di 

 3" ordine composte di tangenti tripunte di una superficie formeranno oggetto, spero fra non molto, 

 di un altro lavoro. 



