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GINO FANO 



la congruenza (3, 1) duale del sistema delle corde di una cubica sghemba, la quale 

 contiene oo 1 inviluppi di 2 a classe, appartenenti ai piani osculatori di una certa 

 cubica. E non vi potrà essere nemmeno una semplice infinità di fasci di rette, perchè 

 se no sarebbe singolare la linea luogo dei centri di questi fasci. Eccettuata dunque 

 la sola (3, 1) di cui sopra, le nostre congruenze avranno tutte un numero finito di punti 

 (coni) e di piani (inviluppi) singolari. 



2. — Un quarto carattere delle congruenze di rette (non però indipendente dai 

 primi tre) che conviene anche considerare è il genere p della rigata (di ordine m -f~ n) 

 secondo cui la data congruenza (m, n) è incontrata da un complesso lineare gene- 

 rico; in particolare dunque (se questo complesso è speciale) della rigata costituita 

 dalle rette della congruenza che si appoggiano a una retta generica dello spazio. In 

 questa rigata, concepita come una curva di genere p, i gruppi di generatrici appar- 

 tenenti ai singoli punti ovvero ai singoli piani della direttrice rettilinea formano 

 rispettivamente due serie lineari, una g\, e una g\, aventi r coppie a comune. Avremo 

 perciò, per una nota formola che si trova già in Riemann ( x ) : 



p = (m — 1) (n — 1) — r. 



Per una congruenza del 3° ordine dunque: 



p = 2(n — 1) — r ; r = 2 (n — 1) — p. 



Rappresentata la congruenza con una superficie dello spazio S 5 (contenuta nella 

 quadrica delle rette), il carattere p sarebbe il genere delle curve sezioni iperpiane 

 di questa superficie. Lo chiameremo perciò (con denominazione suggeritami dal 

 signor Segre) genere sezionale della congruenza (e della superficie che ne è immagine). 



3. — E noto che ogni congruenza (m, n) priva di linea singolare ammette una 

 superficie focale, la quale è in pari tempo luogo dei punti per cui due degli m raggi 

 della congruenza che ne escono sono venuti a coincidere, e inviluppo dei piani per 

 cui coincidono due degli n raggi ivi contenuti. Indicando sempre con r il rango della 

 congruenza, l'ordine u e la classe v della superficie focale sono dati rispettivamente 

 dalle formole : 



(1) u — 2n (m — 1) — 2r v = 2»» [n — 1) — 2r ; 



però quei piani formare un inviluppo (non conico) E di 3* classe, purché i tre raggi della congruenza 

 uscenti da un punto qualunque dello spazio siano le mutue intersezioni dei tre piani di Z passanti 

 per tale punto. E questa congruenza si comporrà allora delle intersezioni dei piani di X (che sono 

 tutti osculatori a una stessa cubica) a due a due. Infine, quegli stessi piani non potranno nemmeno 

 formare un inviluppo non conico di classe > 3, perchè la congruenza risultante sarebbe certo di 

 ordine > 3. 



(') Theorie der Abel'schen Functionen, § 7, " Journal de Creile „, Bd. 54; Ges. .Werke, 2 ,e Aufl., 

 p. 114. Cfr. anche Castelnuovo, Ricerche di geometria sulle curve algebriche, " Atti della R. Acc. di 

 Torino „, voi. XXIV, n" 4. 



