NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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§ 1. 



Considerazioni preliminari. 

 Punti e coni singolari della congruenza. 



ì. — Nelle congruenze algebriche di rette si sogliono distinguere i tre caratteri 

 seguenti : 



1° l'ordine m, ossia il numero delle rette della congruenza che passano per un 

 punto generico dello spazio; 



2° la classe n, ossia il numero delle rette della congruenza che stanno in un 

 piano generico ; 



3° il rango r, ossia il numero dei fasci determinati da coppie di rette della 

 congruenza, i quali contengono una retta generica dello spazio. 



Una congruenza di ordine m e di classe n si suole indicare col simbolo {ni, n). 

 Le congruenze che noi considereremo si supporranno sempre irriducibili (nel solito 

 senso che ha questa parola per una varietà algebrica). 



L'invariabilità dei tre caratteri considerati è dovuta al fatto che ciascuno di essi 

 è il numero delle soluzioni di un certo sistema di equazioni algebriche. Ciascuno di 

 questi caratteri potrà tuttavia divenire infinito per certi elementi (punti, piani, rette) 

 particolari dello spazio. Questi elementi si diranno singolari. 



Per un punto singolare della congruenza passerà una semplice infinità di raggi 

 di questa, formanti un certo cono algebrico (cono singolare); e in un piano singolare 

 sarà pure contenuta una semplice infinità di rette della congruenza, le quali forme- 

 ranno un certo inviluppo ; avvertendo tuttavia che ai punto o piano singolare potrà 

 anche appartenere un numero finito di raggi della congruenza, non contenuti nel 

 cono o inviluppo anzidetto. Questi raggi, quando ve ne siano, li chiameremo isolati 

 (sottintendendo: rispetto a quel punto o piano singolare). 



Quando in una congruenza vi siano infiniti punti singolari (e non potrà esservene 

 che una semplice infinità, tranne che nel caso del piano rigato), essi costituiranno 

 una o più linee, le quali si diranno pure singolari. 



In questa Memoria noi ci occuperemo delle congruenze di rette del 3° ordine 

 (onde m = 3) prive di linea singolare, aventi cioè soltanto un numero finito di punti 

 singolari. Con ciò rimane escluso che vi siano piani singolari contenenti un inviluppo 

 di rette della congruenza di classe > 3 ; perchè se no l'intersezione di questo piano 

 con ogni altro raggio della congruenza sarebbe un punto singolare. Vi potranno 

 essere bensì dei piani contenenti un inviluppo quadrico di rette della congruenza, 

 ma (come si riconosce facilmente (*)) soltanto in numero finito; fatta eccezione per 



(') Supposto infatti che vi siano nella congruenza oc 1 inviluppi quadrici di rette, i piani di questi 

 inviluppi non potranno formare un fascio, perchè se no sarebbero singolari tutti i punti della retta 

 asse di questo fascio; e non un inviluppo quadrico — ossia il sistema dei piani tangenti a un cono 

 quadrico — , e nemmeno un inviluppo di una classe qualsiasi k>2 contenuto in una stella, 

 perchè la congruenza risultante sarebbe di ordine 2 k, e perciò in nessun caso di 3° ordine. Potranno 



