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GINO FANO 



sceva soltanto un minor numero di risultati (M, ma che in questi anni ha ricevuto 

 un forte incremento, specialmente dagli importanti lavori dei signori Castelnuovo 

 ed Enriques, prenderemo il teorema (per noi fondamentale) di cui faremo uso al 

 n° 44, che cioè una superficie algebrica a sezioni di genere p e di ordine superiore 

 a 2p — 2 è razionale o riferibile a una rigata (e qualche altra proprietà). 



Non ho bisogno di ricordare ancora una volta quanto copiosa sia la letteratura 

 che, dalla classica Memoria di Kummer ( 2 ) in poi, ha concorso alla determinazione di 

 tutte le congruenze di rette del 1° e 2° ordine (già effettuata da Kummer, salvo 

 qualche omissione) e allo studio delle proprietà principali di ciascuna di esse ; 

 mentre invece di congruenze del 3° ordine non furono studiati che alcuni casi par- 

 ticolari; p. e. la congruenza (3, 3) di Roccella ( 3 ), le congruenze cremoniane di 

 Hirst ( 4 ), e le congruenze di classe < 6 che i signori Segre e Castelnuovo ottennero 

 come proiezioni di varietà cubiche di S 4 con un numero finito e > 6 di punti doppi ( 5 ). 

 La mia Nota cit. del 1894 ha portato tuttavia un primo contributo alla determina- 

 zione e classificazione di tutte le congruenze del 3° ordine, o almeno di quelle prive 

 di linea singolare; risolvendo in particolare per queste ultime il problema della 

 classe massima, già stato risolto da Kummer per le congruenze di 2° ordine. Questo 

 stesso argomento io riprendo oggi, proponendomi di farne un'esposizione completa e 

 più dettagliata. E la difficoltà dell'argomento (che niuno vorrà disconoscere) valga a 

 scusare quei difetti che il lavoro non potrà a meno di presentare. 



INDICE 



§ 1. — Considerazioni preliminari. Punti e coni singolari della congruenza . . n 1 1-9 

 §2. — Raggi multipli di una congruenza. Genere sezionale delle congruenze (3, «) con 



raggi multipli , 10-18 



§3. — Terne di raggi della congruenza contenute in un fascio. Multiplicità dei luoghi q>, 



(P), {l) nei punti singolari „ 19-28 



§ 4. — Carattere t di una congruenza. Espressione del genere numerico mediante i carat- 

 teri n, p, t , 29-35 



§5. — Congruenze prive di raggi multipli. Loro genere sezionale „ 36-43 



§ 6. — Un teorema generale sulle congruenze (3, n) . . . . . . „ 44-48 



§7. — Congruenze (3, n) rappresentabili sopra una rigata ellittica „ 49-56 



§ 8. — Congruenze razionali. Congruenze di genere sezionale zero ;*...., 57-58 



§ 9. — Congruenze di genere sezionale uno .......... 59-64 



§ 10. — Congruenze di genere sezionale due „ 65-69 



§11. — Congruenze di genere sezionale tre „ 70-71 



§ 12. — Congruenze (3, n) razionali di genere sezionale quattro „ 72-76 



§ 13. — La congruenza (3, 6) di genere sezionale 5 „ 77-78 



§ 14. — La congruenza (3, 7) di genere sezionale 6 , 79-84 



(') Contenuti in lavori di Clebsch. " Compt. Rend. de l'Ac. di S. », 1868; Noetheb, " Math. 



Ann. „, Bd. 8; Castelnuovo, * Rend. Ist. Lomb. „, 1891, e nelle Ricerche di geometria sulle superficie 

 algebriche del sig. Enriques, " Mem. della R. Acc. di Torino „ s. II, t. XLIV; nonché in lavori (che 

 però avevano altro indirizzo) di alcuni geometri francesi, e specialmente dei sig. Picard e Humbert. 

 (*) Ueber die algebraischen Strahlensysteme... " Abhandl. der Beri. Akad. 1866, pp. 1-120. 



( 3 ) Sugli enti geometrici dello spazio di rette... (Piazza Armerina, 1882). 



( 4 ) " Proc. of the Lond. Math. Soc. „ voi. 16°; " Rend. di Palermo „, t. I, p. 64. 



( 6 ) Seghe, " Mem. della R. Acc. di Torino „, ser. 2 a , t. XXXIX ; Castelnuovo, " Atti del R. Ist. 

 Veneto T , ser. 6 a , t. 5 e 6. 



