NUOVE RICERCHE 



SULLE 



CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE 



PRIVE DI LINEA SINGOLARE 



MEMORIA 



DI 



GINO FANO 



Approvata nell'Adunanza del 30 Dicembre 1900. 



In questa Memoria mi propongo di esporre in modo completo le mie ricerche 

 sulle congruenze di rette del 3° ordine, che risalgono in parte al 1894, e delle quali 

 ho pubblicato già allora un breve sunto ( 1 ). Avendo ripreso ora lo studio di quest'ar- 

 gomento, ho potuto fare anche qualche nuova ricerca, e semplificare alcune parti della 

 trattazione primitiva. 



La considerazione delle congruenze di rette come superfìcie contenute in una 

 quadrica (M|) non degenere dello spazio a cinque dimensioni (la quadrica fondamentale 

 costituita dall'insieme di tutte le rette dello spazio ordinario ( 2 ) ) riceverà in questa 

 Memoria un'applicazione frequente, benché non sistematica ( 3 ). E i concetti fonda- 

 mentali relativi alla rappresentazione delle congruenze di rette mediante superficie 

 dello spazio S 5 si supporranno noti. Sovente ci occorrerà anche di considerare delle 

 rigate come curve dello spazio S 5 o di uno spazio inferiore, e di applicare ad esse 

 ragionamenti e risultati della geometria sopra una curva algebrica (ossia sopra un 

 ente algebrico semplicemente infinito, che tale è appunto la rigata, come varietà ce 1 di 

 rette). Dalla geometria sopra una superfìcie algebrica, della quale nel 1894 si cono- 



0) Cfr. la mia Nota: Sulle congruenze di rette del terzo ordine prive di linea singolare, " Atti 

 della R. Acc. di Torino ,, voi. XXIX. 



( l ) L'idea di considerare la geometria della retta come quella di una quadrica dello spazio S$ 

 si trova, in modo esplicito, nella Memoria del sig. Klein : TJéber Liniengeometrie und metrische Geo- 

 metrie, " Matti. Ann. „, Bd. 5, p. 261; ma si può farla risalire alla Neue Geometrie des Raumes di 

 Plììcker. la classica Memoria che segnò le origini della geometria della retta. 



( 3 ) Uno studio sistematico di alcune congruenze di rette dal punto di vista accennato si trova 

 nella mia Memoria: Studio di alcuni sistemi di rette considerati come superficie dello spazio a cinque 

 dimensioni, " Annali di Matem. „, s. 2 a , t. XXI; Memoria che avremo spesso occasione di ricordare 

 in seguito. 



Serie II. Tom. LI. a 



