NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 71 



drico che proietta la curva ò dal suo punto triplo B, e di un piano passante per A. 

 Il cono quadrico incontra ulteriormente cp G in una conica; il piano per A l'incontra 

 in una curva di 6° ordine e genere 2; e queste due curve hanno 2 punti a comune. 

 Esse formano dunque insieme una curva riducibile di genere 3 ; e non può quindi 

 essere < 3 il genere di un sistema lineare contenente tale curva. 



Il sistema oo 4 completo delle CI aggiunte alle sezioni iperpiane di F sarà di 

 grado 4 + 3 — 1 = 6. Esso è anche semplice (non appartiene cioè ad alcuna invo- 

 luzione di grado > 1) ; infatti il sistema parziale segato su <t> 6 dai piani per A po- 

 trebbe appartenere tutt'al più all'involuzione cubica segata dalle rette per A stesso; 

 e a questa non appartengono certo le rimanenti curve del sistema oo 4 . 



Il sistema delle C* si potrà dunque rappresentare con una superficie f 6 di S 4 , a 

 sezioni di genere 3, che risulterà riferita birazionalmente alla F s) primitiva. E alle 

 10 cubiche piane contenute in F 9 corrisponderanno sopra f 9 anche cubiche piane. 

 Infatti le C 8 aggiunte al sistema delle sezioni iperpiane di F 9 si proiettano su <t> 6 in 

 curve aventi in A un punto triplo; e devono perciò incontrare la cubica y in tre 

 punti (variabili). 



Ora la p non può avere nemmeno essa le sezioni iperellittiche. Infatti, se le 

 avesse tali, essa dovrebbe contenere un fascio razionale di coniche; e ciascuna di 

 queste coniche dovrebbe incontrare le singole cubiche in due punti (se no il fascio 

 di coniche non sarebbe razionale): dunque i piani delle co 1 coniche dovrebbero incon- 

 trare in rette i piani delle 10 cubiche, e dovrebbero perciò passare tutti per le inter- 

 sezioni di questi piani a due a due. E ciò è impossibile. 



Escluso questo caso, la f' di S 4 dovrà rappresentarsi sul piano con uno dei due 

 sistemi lineari seguenti (*): 



1° Sistema delle quartiche con 10 punti basi semplici; 



2° Sistema delle curve di 6° ordine aventi a comune 7 punti doppi e 2 punti 

 semplici. 



Nel 2° caso la f 6 conterrebbe bensì 2 fasci di cubiche piane ; ma fra queste non 

 si potrebbero trovare le 10 che a noi occorrono, aventi cioè a due a due un punto 

 comune, variabile da una coppia all'altra ( 2 ). Va dunque esclusa anche quest'ipotesi; 

 e perciò la f" dovrà in ogni caso rappresentarsi con un sistema di quartiche aventi 

 10 punti a comune. Alle cubiche che congiungono questi 10 punti a 9 per volta 

 corrisponderanno anche cubiche piane sopra f e , e precisamente come a noi occorrono. 



Alle sezioni iperpiane della superficie F 9 corrisponderanno sopra f' curve di 

 8° ordine e genere 5, appartenenti a S 4 ; e perciò curve canoniche C®. Ciascuna di 

 queste curve, essendo base di una rete di quadriche, si potrà certo staccare da f 6 

 con una quadrica (anzi con infinite quadriche). Se ne conclude che il sistema li- 

 neare oo 5 di quelle C* su f 6 sarà contenuto (parzialmente) nel sistema lineare doppio 

 di quello delle sezioni iperpiane di f 6 . E sul piano rappresentativo di f* esso non 



f 1 ) Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve di genere tre, " Atti della 

 R. Acc. di Torino ,, voi. XXI. 



( J ) Si vede infatti immediatamente che, dei vertici dei 10 coni cubici della congruenza (3, 6), 

 supposta esistente, tre qualunque non possono stare in linea retta. Inoltre, la congiungente di due 

 qualunque di questi vertici deve essere raggio della congruenza; poiché se no il piano di essa e di 

 un terzo vertice qualunque sarebbe singolare, e questo può escludersi facilmente. 



