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GINO FANO 



potrà rappresentarsi che col sistema delle curve di 7° ordine passanti doppiamente 

 per i 10 punti fondamentali (del quale sistema quello che rappresenta f s è precisa- 

 mente l'aggiunto). Concludiamo perciò : 



Se esiste una congruenza (3, 6) di genere sezionale 5, la superficie F s immagine 

 di essa in S 5 dovrà rappresentarsi sul piano col sistema delle curve di 7° ordine aventi 

 10 punti doppi a comune. 



78. — Viceversa, il sistema lineare delle curve piane algebriche di 7° ordine 

 con 10 punti basi doppi (non appartenenti a una cubica) rappresenta appunto una 

 superficie F 9 di S 5 , contenente 10 cubiche piane, le quali corrispondono alle cubiche 

 che congiungono a 9 a 9 i punti fondamentali, e hanno perciò ancora a due a due 

 un punto comune. 



Questa superficie F 9 sta certo sopra una quadrica (M*). Infatti il sistema li- 

 neare oo 20 di tutte le quadriche di S 5 sega su di essa un sistema lineare di curve 

 di grado 4 . 9 = 36 e di genere 5 + 5 + 9 — 1 = 18 (come si vede subito conside- 

 rando una curva spezzata in due sezioni iperpiane) ; dunque la dimensione di questo 

 sistema (certo non sovrabbondante) sarà < 36 — 18+ 1, ossia < 19, e perciò < 20 

 (mentre sono invece co 20 le quadriche di S 5 ). — E si riconosce anche facilmente 

 che questa quadrica (unica) passante per F 9 , dovendo contenere i piani delle 10 cu- 

 biche, le quali hanno a due a due un punto (variabile) a comune, non può nem- 

 meno essere degenere. La superficie F 9 rappresenterà dunque una certa congruenza 

 di rette; e questa è precisamente di 6 a classe, e quindi di 3° ordine (0 viceversa), 

 perchè, ad es., il piano determinato dalle mutue intersezioni di tre cubiche a due a 

 due (piano che appartiene alla M4 fondamentale, incontrando in rette i piani di 

 queste tre cubiche) incontra F 9 in sei punti (le tre intersezioni delle cubiche a due a 

 due, e un altro punto su ciascuna di esse). 



Esiste dunque veramente una congruenza (3, 6) di genere sezionale 5, contenente 

 10 coni cubici (e, in generale, non altri punti nè piani singolari). 



Essa può rappresentarsi sul piano, in modo che ai suoi 10 coni cubici 

 corrispondano le curve di 3° ordine che congiungono a 9 a 9 certi 10 punti. 

 La sua superficie focale è di ordine 14 e classe 20 , e ha una curva cuspidale di 



ordine 3 | (M=l| = 48. 



§ 14. 



La congruenza (3, 7) di genere sezionale 6. 



79. — Occupiamoci infine della congruenza (3, 7) di genere sezionale 6, già 

 riconosciuta come possibile (n° 42), e della quale dimostreremo ora l'effettiva esi- 

 stenza. Essa sfugge al teorema generale del § 6, avendo per immagine in S 5 una 

 superficie il cui ordine, indicato con p il genere (= 6) delle curve sezioni, sarebbe 

 precisamente =2p — 2. E vedremo infatti ch'essa non è razionale, nè riferibile a 

 una rigata. 



Sappiamo che questa congruenza, supposta esistente, deve contenere 20 coni 

 cubici di genere uno. Diremo per brevità che due punti singolari vertici di tali coni 



