NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



73 



sono congiunti, ovvero non congiunti, secondo che la retta da essi determinata è , 

 o non è raggio della congruenza (e quindi anche generatrice dei due coni). Ciò pre- 

 messo, si riconosce facilmente: 



a) Se due punti singolari A e B non sono congiunti fra loro, ciascuno di essi 

 è congiunto ad ogni altro C. Infatti il piano ABC non è certo piano singolare, perchè 

 se no (tanto se contenesse un inviluppo quadrico di rette della congruenza, quanto 

 se ne contenesse un fascio) si troverebbe in esso qualche punto non singolare, pel 

 quale dovrebbero passare tre raggi della congruenza contenuti in quello stesso piano ; 

 il che non può avvenire. Non potranno dunque stare nel piano ABC più di sette 

 raggi della congruenza. Ora 6 di questi, tutti distinti, sono dati da altrettante gene- 

 ratrici dei due coni A e B ; dunque fra questi 6 dovranno già esser comprese due 

 delle tre generatrici del cono C; vale a dire le rette AC e BC dovranno appar- 

 tenere alla congruenza. 



b) Se due punti singolari A e B sono congiunti, ve n' è certo un terzo non con- 

 giunto a uno almeno dei primi due : 



Supponiamo infatti che i punti A e B siano congiunti, oltre che fra loro, anche 

 (entrambi) a ciascuno degli altri 18; e sia C uno qualunque di questi. I tre coni 

 A, B, C avranno a comune: 



i tre vertici A, B, C; ciascuno dei quali, essendo triplo per uno dei tre coni, 

 conta come 3 intersezioni almeno ; 



altri 3 punti nel piano ABC (le ulteriori intersezioni delle rette BC, CA, AB 

 rispett. coi coni A, B, C): 



almeno 16 dei rimanenti 17 punti singolari; poiché questi 17 sono tutti 

 congiunti a A e B, e al più uno di essi può non essere congiunto a C. 



Si avrebbero dunque complessivamente almeno 28 intersezioni, tutte distinte. 

 Concludiamo perciò che i tre coni ABC dovrebbero avere infiniti punti a comune, 

 costituenti una loro comune direttrice ; e questa dovrebbe anche variare se, tenendo 

 fermi A e B, si fa variare il cono C, perchè se no ogni punto di essa apparterrebbe 

 a più di 3 raggi della congruenza, e sarebbe perciò singolare. Ora è impossibile che 

 la curva di 9° ordine intersezione dei due coni A e B (anzi di 8° ordine, quando se 

 ne tolga la generatrice comune ad essi) si scinda in 18 parti, appartenenti rispett. 

 agli altri coni. Vi sarà dunque certo, fra questi 18 coni, uno il quale non sia con- 

 giunto o ad A o a B. 



Dalla proprietà a) segue che quelli fra i 20 punti singolari, che non sono con- 

 giunti a ogni altro, si distribuiranno a coppie; in modo che i due punti di ciascuna 

 coppia non siano congiunti fra loro, ma lo siano entrambi ad ogni altro. E queste 

 coppie dovranno anche esaurire i 20 punti — vi saranno cioè 10 coppie consimili — , 

 perchè se no resterebbero sempre due punti congiunti fra loro e ad ogni altro, 

 caso escluso in b). 



Dunque: I venti punti singolari si distribuiscono in dieci coppie, tali che due punti 

 di una stessa coppia non sono mai congiunti, ma due punti di coppie diverse lo sono 

 sempre. 



Nel piano di tre punti, dei quali due non siano congiunti, abbiamo già veduto 

 come sono distribuiti i sette raggi della congruenza. Nel piano di tre punti singolari 

 A, B, C, a due a due congiunti, apparterranno alla congruenza le tre rette BC, CA, AB; 



Serie II. Tom. LI. j 



