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GINO FANO 



un'altra generatrice ancora di ciascuno dei tre coni A, B, C, e un 7° raggio non 

 contenuto in alcuno di questi tre coni. 



80. — Consideriamo ora la superficie F 10 di S 5 immagine della nostra congruenza, 

 e domandiamoci in quante varietà cubiche (M?) essa sia contenuta. 



Il sistema lineare di tutte le M4 di S 5 è di dimensione | ) — 1 = 55. Sulla F 10 



queste varietà segheranno un sistema lineare di curve | T | di grado 9.10 = 90, e 

 il cui genere si può dedurre facilmente dalla considerazione delle curve spezzate in 

 tre sezioni iperpiane: esso varrà precisamente 3.6 + 3.10 — 2 = 46. Ora, se in- 

 dichiamo con | C | il sistema delle sezioni iperpiane di F 10 , il sistema triplo | 3C | 

 sarà appunto | f~ | , ovvero il sistema normale in cui quest' ultimo è contenuto. Di 

 più, | C | è il sistema residuo che si ha staccando da | 3C | una curva generica del 

 sistema ! 2C |; e quest'ultima curva è di genere 2 . 6 + 10 — 1 = 21, sicché la serie 

 lineare segata su di essa da | 3C | , la quale è di ordine 60, è certo non speciale. Di qui 

 si trae che la sovrabbondanza del sistema lineare | C 1 non può essere inferiore a quella 

 di | 3C | ( 1 ). — Ora la superficie F 10 ha le sezioni non speciali (n° 21); dunque il 

 suo genere geometrico è nullo, e perciò ogni sistema lineare su di essa va consi- 

 derato come non speciale. Se p n è il suo genere numerico (che vedremo in seguito 

 essere anche nullo), la sovrabbondanza di | C | sarà — p„ ; e quella di | 3C | , sup- 

 posto di dimensione r, sarà r — 90 -4- 46 — 1 — p n = r — 45 — p„. Avremo perciò: 



ossia r < 45 ( 2 ). — Concludiamo pertanto che per F 10 passerà un sistema lineare 

 di Ma di dimensione > 9. Fra queste vi sono però le oo 5 costituite dalla quadrica 

 fondamentale in cui F 10 deve supporsi contenuta, e da un S 4 variabile. Esisterà 

 quindi un sistema lineare almeno 00 3 di M4 passanti per F 10 e nessuna delle quali 

 conterrà come parte la quadrica fondamentale. Vale a dire: 



La nostra congruenza (3, 7), supposta esistente, appartiene a un sistema lineare 

 almeno co 3 di complessi cubici (tutti irriducibili, non potendo la congruenza stare in 

 un complesso di grado < 3). 



81. — Riferiamoci ora, per maggior chiarezza, alla congruenza (7, 3) duale di 

 quella considerata precedentemente. Questa conterrà 20 inviluppi piani di 3 a classe 

 e genere 1, e apparterrà anche a almeno oo 3 complessi cubici. 



Siano ctt, a 2 i piani di due dei 20 inviluppi, tali che la retta ctj a 2 non appar- 

 tenga alla congruenza (n. 79); e siano $ lf p 2 © Ti, T 2 altre due delle 10 coppie di 



(') Castelnoovo, Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra una su- 

 perficie algebrica, " Annali di Matein. „, s. II, t. 25, n° 39, 1, p. 75. Per la definizione di sovrabbon- 

 danza, v. n° 35. 



C) Indicato con pi il genere (=46) dei sistema lineare | 3C | , la sua serie caratteristica sa- 

 rebbe di ordine 2p t — 2, e avrebbe perciò potuto essere la serie canonica. Ed è stato per escludere 

 questo, e concluderne r < 45 (anziché soltanto r < 46) che abbiamo dovuto fare un ragionamento un 

 po' più lungo. 



— p n > r — Ah — p n 



