NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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piani consimili. Esisterà certo un complesso cubico T contenente la data con- 

 gruenza (7, 3) e le tre rette aiCt 2 , Pi p 2 , Ti Y2- Esso conterrà per intero i sei piani 

 rigati a„ p„ y ; : e porciò, se consideriamo, ad es., il punto a 1 p 1 , fi, i tre fasci di 

 raggi aventi i centri in questo punto e contenuti rispett. nei tre piani a x , p t , Yi 

 apparterranno anche a quel complesso. Ma, fra i 7 raggi della congruenza uscenti 

 dal punto ctjPiYi, sappiamo che ve n'è uno non contenuto in alcuno dei tre piani 

 a i7 Pi, Ti! e da ciò si trae che il complesso T conterrà altresì l'intera stella di 

 rette a x p x f lf come pure le analoghe ct^Y*: in numero complessivo di otto. 



D'altra parte le tre coppie di piani cti ct 2 , Pi 8 2 , Yi y 2 individuano una rete di 

 quadriche (avente per punti basi gli otto punti a { fa y.) ; e le generatrici (di ambo i 

 sistemi) di tutte le quadriche di questa rete formeranno anche un complesso cubico F t . 

 Dico che i due complessi V e V x coincidono. Infatti essi hanno a comune anzitutto i 

 sei piani rigati a„ (3 t , fi e le otto stelle di rette a, p, y,. Di più, nella rete considerata 

 vi è un fascio di quadriche passanti per la congiungente s dei due punti basi a^Yi 

 e a 2 P2 T2 ; © la curva base di questo fascio si compone della stessa retta s e di una 

 cubica passante per gli altri sei punti a* y* e avente s per corda. La congruenza 

 (1, 3) delle corde di questa cubica appartiene certo a r t ; e appartiene pure a T, 

 avendo a comune con quest'ultimo complesso i sei coni quadrici che proiettano la 

 cubica dai suoi sei punti a,- P, Yi, e inoltre il raggio s. Ora, di congruenze (1, 3) di 

 questo tipo, e perciò comuni a T e T,, ve ne sono quattro; dunque più che a suf- 

 ficienza per concludere che i due complessi coincidono ( 1 ). 



La congruenza (7, 3) sarà dunque contenuta nel complesso cubico formato da 

 tutte le generatrici della rete di quadriche determinata dalle tre coppie di piani 

 a i a 2i P1P2) TiT 2 - Sia ora òiò 2 una quarta coppia di piani analoga alle precedenti, e 

 consideriamo l'altra rete determinata dalle coppie di piani ctia 2 , PjP 2 , ( 2 ). Le due 

 reti avranno a comune il fascio determinato dalle due coppie di piani a x a 2 e p\p 2 ; e 

 i corrispondenti complessi cubici avranno a comune i quattro piani rigati a lt ot 2 , pi, p 2 

 e le due congruenze lineari di direttrici rispett. ot^i e ct 2 p 2 , ot^ e ct^. L'interse- 

 zione residua di questi complessi sarà allora la (sola) congruenza (7, 3) considerata. 



Dunque: La congruenza (7, 3) di genere sezionale 6, supposta esistente, deve po- 

 tersi ottenere come intersezione parziale dei complessi cubici formati dalle generatrici di 

 due reti di quadriche aventi un fascio a comune. 



Possiamo anche osservare che nel sistema lineare oo 3 determinato dalle quattro 

 coppie di piani ctiC< 2 . PiP 2 , Y1T2 e òiò 2 dovranno essere contenute (in generale) altre 

 sei coppie di piani. Su ciascun piano di una tal coppia il sistema oo 3 di quadriche 

 segherà soltanto una rete di coniche; e ogni retta contenuta (parzialmente: in 



(') Questo ragionamento coincide sostanzialmente con quello di cui si vale il sig. Monte.=a::o 

 (Meni, cit., n" 1) per mostrare che un complesso cubico contenente otto stelle di raggi, delle quali 

 quattro qualunque abbiano i centri non in un piano, si compone delle generatrici delle quadriche 

 di una rete. 



C 2 ) Le due reti considerate saranno certo distinte, almeno si possono supporre tali, perche 

 una rete di quadriche la quale non contenga (come non contiene nel nostro caso) infinite coppie di 

 piani, contiene al più 6 di tali coppie. Questo numero massimo è raggiunto quando essa contenga 

 quattro fasci di coni ; e ciò avviene ogni qual volta vi sia un tetraedro autopolare comune a tutte 

 le quadriche della rete. 



