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GINO FANO 



questa rete apparterrà a tutto un fascio di quadriche del sistema oo 3 , dunque a 

 una quadrica sì dell'una che dell'altra delle due reti considerate di sopra (e che sono 

 contenute nel sistema oo 3 ): essa sarà perciò una retta della nostra congruenza (7, 3). 

 Vale a dire: 



I piani delle coppie di inviluppi di 5 a classe non congiunti della congruenza (7, 3), 

 supposta esistente, sono le 10 coppie di piani di un sistema lineare oo 3 di quadriche; 

 e gli inviluppi stessi sono le Cayleriane delle reti di coniche segate da questo sistema oo 3 

 sopra quei piani. 



82. — Viceversa, sia dato un sistema lineare oo 3 di quadriche (Z), privo di 

 punti basi; e si considerino entro di esso due reti arbitrarie. Le generatrici delle 

 quadriche di queste due reti costituiranno rispett. due complessi cubici, aventi a 

 comune la congruenza (2, 6) delle corde di quella quartica, che è curva base del 

 fascio comune alle due reti (Nel caso considerato al n° prec. questa congruenza si 

 spezzava in due congruenze lineari e quattro piani, rigati). L'intersezione residua dei 

 due complessi sarà perciò una congruenza (7, 3). Questa conterrà precisamente 

 20 inviluppi piani di 3 a classe, nei piani che a coppie formano quadriche del si- 

 stema Z; e questi inviluppi saranno le Cayleriane delle reti di coniche segate da Z 

 sopra tali piani. — Si vede anche facilmente che la congruenza avrà il genere se- 

 zionale 6 ; perchè, se è una coppia di piani contenuta in Z, la rigata R 10 delle 

 rette della congruenza che si appoggiano all'intersezione a 1 a 2 si compoi*rà dei due 

 inviluppi di 3 a classe e genere uno contenuti nei piani stessi a x e a 2 (i quali non 

 hanno rette a comune), e di una rigata razionale di 4° ordine, avente a x a 2 per di- 

 rettrice semplice, e avente ancora tre generatrici a comune con ciascuno di quei 

 due inviluppi: sicché questa rigata (riducibile) sarà appunto di genere 6. 



Esistono dunque effettivamente congruenze (7, 3) o (3, 7) di genere sezionale 6. 

 Per definirle nel modo più opportuno, possiamo ancora osservare che ogni retta 

 della congruenza (7, 3) teste ottenuta è generatrice comune di due quadriche distinte 

 appartenenti rispett. alle due reti considerate in Z, e quindi anche di tutto un fascio 

 di quadriche contenute pure in Z. — D'altra parte, considerato entro Z un qual- 

 siasi fascio di quadriche aventi una retta a comune (ossia un fascio la cui curva 

 base si spezzi in una retta e una cubica), si vede subito che quella retta apparterrà 

 al complesso cubico delle generatrici di ogni rete di quadriche contenuta in Z (poiché 

 questa rete ha certo una quadrica a comune con quel fascio), e perciò anche alla 

 congruenza (7, 3) intersezione (parziale) di due qualunque di quei complessi cubici. 

 — La congruenza (7, 3) non è dunque legata a nessuna particolare coppia di reti 

 contenute in Z, ma soltanto a quest'ultimo sistema ; essa è l'insieme di quelle rette 

 che appartengono a tutto un fascio di quadriche di Z, anziché a una sola di queste 

 quadriche (come avviene per una retta generica). Essa appartiene altresì al complesso 

 cubico delle generatrici di ogni rete di quadriche contenuta in I; e così si hanno 

 precisamente gli oo 3 complessi cubici passanti per essa (n° 80). 



Esistono dunque congruenze (3, 7) di genere sezionale 6; e precisamente la con- 

 gruenza duale (7, 3) è sempre congiunta a un determinato sistema lineare oo 3 di qua- 

 driche privo di punti basi e affatto generale. Essa può definirsi come l'insieme di quelle 

 rette che appartengono a due diverse e perciò a tutto un fascio di quadriche del 



