NUOVE RICERCHE SULLE CONGRUENZE DI RETTE DEL 3° ORDINE, ECC. 



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sistema co 3 . Sotto altra forma si può anche dire che, fra gli oo 4 fasci contenuti nel 

 sistema co 3 , ve ne sono co 2 la cui curva base si spezza in una cubica e una retta 

 corda di questa cubica; e sono precisamente le co 2 rette cosi ottenute quelle che 

 costituiscono la congruenza. La congruenza (7, 3) è priva di punti singolari, ma con- 

 tiene 20 inviluppi piani di 3 a classe e genere uno, in quei piani che a coppie formano 

 quadriche degeneri del sistema co 3 . 



Questa congruenza è dunque quella delle " rette principali „ (" Hauptstrahlen „) 

 di un sistema lineare co 3 di quadriche, già stata considerata dal sig. Reye (*), il 

 quale ne ha pure determinato l'ordine e la classe. — Ogni punto dello spazio appar- 

 tiene (senza eccezioni) a una rete di quadriche del sistema co 3 , la quale ha altri 

 7 punti basi, in generale distinti fra loro e dal primo; le rette della congruenza 

 uscenti da quel primo punto sono quelle che lo congiungono a questi suoi associati. 

 Un piano generico sega le quadriche del sistema co 3 secondo un sistema lineare co 3 

 di coniche, nel quale sono contenute quattro rette doppie ( 2 ); le rette della con- 

 gruenza che stanno in questo piano sono le diagonali del quadrilatero formato da 

 quelle quattro rette ( 3 ). 



La congruenza (3, 7) si troverà in una relazione duale con un sistema li- 

 neare co 3 di quadriche-in viluppi. 



83. — Consideriamo ora di nuovo la superficie F 10 dello spazio S 5 , a sezioni 

 di genere 6, immagine della nostra congruenza (3, 7). Essa dovrà contenere 20 cu- 

 biche piane, ciascuna delle quali avrà un punto a comune con tutte le rimanenti, 

 meno una. E gli spazi S 4 passanti per una di queste cubiche incontreranno ulterior- 

 mente la F 10 secondo curve di 7° ordine e genere 3, aventi con quella cubica tre 

 punti a comune. 



Proiettiamo la superficie F 10 su di uno spazio S 3 da una retta generica r del 

 piano di una sua cubica t- Avremo una superficie <t> 7 di S 3 con un punto triplo A 

 immagine della curva t, e con una curva doppia di 9° ordine (non passante per A). 

 Il secondo piano della quadrica fondamentale passante per r darà come traccia un 

 punto B, quadruplo per la superficie <t> 7 e sestuplo per la sua curva doppia (C 9 ). Da 

 questo punto la C 9 verrà proiettata secondo un cono cubico, privo di generatrici 

 doppie (per ragioni analoghe a quelle vedute al n. 33) e perciò ellittico; e questo 

 cono incontrerà ancora la <t> 7 secondo una cubica piana ò (proiezione di quella cu- 

 bica di F 10 che non ha punti comuni con t)- 



Per la superficie F 10 , e quindi anche per la <t> 7 che ne è proiezione, è nullo, 

 oltre che il genere geometrico, anche il genere numerico ; ciò risulta infatti dal- 

 l'espressione di p n trovata al n. 33, nella quale deve porsi t = (n° 30) e t = 



(') Geometrie der Lage, 3 te Aufl. Ili, p. 140 e seg. 



( a ) Cfr. ad es. Segre, Considerazioni intorno alla geometria delle coniche di un piano..., " Atti della 

 R. Acc. di Torino „, voi. XX. 



( 3 ) Un caso particolare notevole sarà quello in cui il sistema lineare Z si componga delle prime 

 polari dei punti dello spazio rispetto a una data superficie cubica. I tre raggi della congruenza 

 contenuti in un piano del pentaedro di questa saranno le diagonali del quadrilatero segato su tale 

 piano dagli altri 4 piani del pentaedro. 



