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GINO FANO 



(essendo la congruenza risultata completamente priva di raggi multipli). D'altronde 

 si può anche far vedere direttamente che per una superficie di 3° ordine (la quale 

 dipende da 19 parametri) il passaggio per la curva C 9 e per il punto A (condizioni 

 richieste, perchè essa sia aggiunta a 7 ) equivalgono precisamente a 20 condizioni 

 semplici. 



La F 10 (o la <J> 7 ) è dunque una superficie regolare di genere zero. — Le super- 

 ficie <t> 4 aggiunte a O 7 segheranno sopra quest'ultima curve di 10° ordine, costituenti 

 il sistema lineare | C | aggiunto al sistema | C | delle sezioni iperpiane di F 10 . 

 Fra queste superficie vi sono quelle composte del cono cubico che da B proietta 

 la curva C 9 e di un piano per A; le corrispondenti curve C si spezzeranno nella 

 cubica ò (di genere uno) e in una sezione piana di 7 passante per A (perciò di 

 genere 3). Queste due curve avendo 3 punti a comune, se ne conclude che il genere 

 del sistema |C'| è 1 + 3 + 3 — 1 = 6, come per | C | . E il suo grado (trattan- 

 dosi di sistema oo 5 normale) sarà 6 -\- 5 — 1 = 10. I" due sistemi | C | e j C | 

 hanno dunque gli stessi caratteri. Di più, | C | dovrà segare sulla curva generica 

 di | C | una serie lineare g%, la quale non potrà essere che la serie canonica di 

 questa curva. E di qui si trae che | C | è a sua volta 1' aggiunto di | C | , ossia 

 coincide col proprio secondo aggiunto. Dunque la superficie di cui si tratta, non è 

 razionale, ma ha invece il bigenere P = 1 (*). 



La congruenza (3, 7) di genere sezionale 6 non è razionale, ma è invece un ente 

 algebrico co 2 regolare di genere zero e bigenere uno. 



La superficie <t> 7 dianzi considerata ammetterà pertanto una superficie biaggiunta 

 di 6° ordine; vi sarà cioè una e una sola superficie di 6° ordine passante doppia- 

 mente per la C 9 e avente anche in A un punto doppio. L'intersezione residua di 

 questa superficie colla <t> 7 , esclusa la C 9 che è doppia per entrambe, si comporrà di 

 una curva di 6° ordine avente in A un punto sestuplo, e che dovrà perciò spezzarsi 

 in rette passanti per A. Siccome <t> 7 contiene soltanto tre rette passanti per A (im- 

 magini dei tre punti in cui l'asse di proiezione r sopra F 10 incontra la cubica Y) f 

 cosi, per ragioni di simmetria, quell'intersezione si comporrà di queste tre rette, 

 contate ciascuna due volte. La superficie di 6° ordine biaggiunta di 7 avrà le se- 

 zioni ellittiche, e si rappresenterà sul piano con un sistema lineare oo 3 di cubiche 

 aventi a comune 3 punti in linea retta. 



84. — I risultati principali di tutta la nostra ricerca si possono riassumere 

 negli enunciati seguenti: 



Le congruenze di rette del 3° ordine prive di linea singolare sono tutte di 

 classe »<13 e di genere sezionale p<6. 



Di genere sezionale p = è soltanto la congruenza cremoniana (3, 1) generata 

 da due piani collineari in posizione generale. 



(') Enriques, Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche, " Mem. della Soc. It. delle 

 Scienze „, s. Ili, t. X, n u 39. Si osservi che se | | e \ C \ sono mutuamente aggiunti, il sistema 

 somma | C | -f- i C | avrà per aggiunto tanto | 2C I quanto | 2C | , e sarà perciò | 2C | = | 2C'| 



(a meno di curve eccezionali). 



