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FRANCESCO SEVERI 



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II. 



Questo lavoro dividesi in due parti : nella prima si suppone la curva oggettiva 

 dotata delle singolarità che compariscono nelle note forinole del Veronese ( l ), e si 

 fanno ricerche attorno alle varietà costituite da corde della curva che soddisfano a 

 condizioni assegnate ( 2 ) ; nella seconda parte si suppone la curva oggettiva priva di 

 punti multipli e si fanno, in special modo, ricerche intorno agli spazi che hanno con 

 la curva dati contatti. Alcune di queste ricerche sono condotte lasciando indetermi- 

 nata la dimensione dello spazio ambiente, altre fermandosi a curve di uno spazio a 

 quattro, od a cinque dimensioni. Ma si vedrà che il metodo seguito per risolvere 

 problemi relativi a curve di questi spazi, può tenersi per risolvere le questioni ana- 

 loghe negli spazi superiori. I resultati della seconda parte, in quanto sono ottenuti 

 prescindendo dalle singolarità proiettive della curva oggettiva, si possono conside- 

 rare come appartenenti alla geometria sull'ente ( s ), ed acquistano veramente la forma 

 sotto cui si suole presentare le proprietà invariantive per trasformazioni birazionali, 

 quando si riferiscano alla serie lineare segnata sulla curva dagli iperpiani del suo 

 spazio. 



Avremo frequentemente occasione di profittare dei principi di corrispondenza 

 sopra una curva, e, come di solito, la . maggior difficoltà nella loro applicazione si 

 presenterà nel determinare il grado di molteplicità delle coincidenze. E alcune volte 

 vinceremo questa difficoltà usando di un artificio che qui esponiamo: 



Suppongasi di avere sopra una curva C immersa in uno spazio S r , una corri- 

 spondenza (a, a') pienamente definita soltanto dal fatto di dare la curva, e sia un 

 punto unito di essa. Allorquando un punto P mobile sulla curva, cade in 0, fra gli 

 a' punti P' omologhi di P, ve ne sono un certo numero che pure cadono in 0, e 

 questo numero è funzione di alcuni caratteri della curva. Ricordiamo che il numero 

 delle volte che il punto va contato fra i punti uniti è dato dalla somma degli 

 ordini infinitesimali delle distanze che passano fra un punto P della curva che si 

 approssimi ad 0, e i punti P' omologhi di esso punto P, che gli sono infinitamente 

 vicini, avendo assunto la distanza OP come infinitesimo principale ( 4 ). Orbene se ci 

 riferiamo ad una curva che siasi ottenuta particolarizzando quei caratteri dai quali 

 non dipende il numero dei punti P' che con P cadono in 0, e per la quale la cor- 

 rispondenza primitiva abbia ancora senso, poiché gli ordini infinitesimali delle di- 



(') Cfr. Veronese, Projectivische Verhiiltnisse, etc. (" Math. Annalen „, Bd. 19). 

 (?) Non presumiamo certamente di avere esaurito questa classe di problemi ; molti ancora ne 

 restano da risolvere. 



( 3 ) Per una trattazione della geometria sopra una curva cfr. Segre, Introduzione alla geometria 

 sopra un ente algebrico semplicemente infinito C Ann. di Mat. „ (2), 22, 1894). Ivi si troverà anche 

 un'estesa bibliografia inerente all'argomento. 



( 4 ) Le distanze di cui si parla nel testo si potranno contare sopra la superficie di Riemann rap- 

 presentatrice dell'ente algebrico. Cfr. Zeuthen, Note sur le principe de correspondance (" Bulletin de 

 Darboux „, t. 5, p. 186, 1873). Cfr. pure: Zeuthen, Nouvelle de'monstration du principe de correspon- 

 dance de Cayley et Brill, etc. (" Math. Annalen „, Bd. 40, p. 99, 1892). 



