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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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stanze prima considerate dipendono solo dalle proprietà della curva nell'intorno di 0, 

 determinando per quella particolare curva il grado di molteplicità della coinci- 

 denza 0, otterremo un numero che esprime il grado di molteplicità che desideravamo 

 in generale. 



Notazioni. — Raccogliamo qui le notazioni che saranno più spesso usate; altre 

 ne introdurremo nel seguito. Denoteremo con: 

 r la dimensione dello spazio ambiente, 

 n l'ordine della curva oggettiva, 

 n x l'i-esimo rango (i = 1, . . ., r — 2), 

 m la classe, 



d il numero dei punti doppi (nodi), 

 p il numero delle cuspidi. 



Pi il numero degli S, stazionari (i = 1, . . ., r — 1), 

 h il numero dei punti doppi apparenti, 

 p il genere della curva. 



PARTE PRIMA 

 § 1. — Sopra certe rigate costituite da corde della curva. 



1 . — Ordine della rigata luogo delle corde ognuna delle quali giace nell 'iperpiano 

 osculatore in uno dei due punti d'appoggio. 



Seghiamo la M 3 delle corde della curva C con un S r _ 2 generico, e sia T la curva 

 che ivi otteniamo come sezione. 



Fra i punti di T consideriamo una corrispondenza così definita : Dato un punto 

 A di T si tirino per quello gli m iperpiani osculatori a C e per ciascuno dei loro 

 punti d'osculazione tiriamo le n — 1 corde di C appoggiate a V ; i punti d'appoggio 

 su T di queste corde li chiameremo punti A' omologhi di A. Dato un punto A' di 

 T, siccome questa curva è di ordine h, avremo 2h punti A, omologhi di quello, e 

 questi punti costituiranno la completa intersezione di T con una forma (quadratica) 

 del suo spazio. 



Dunque la corrispondenza è dotata di valenza ( Werthigkeit) nulla, e, per il prin- 

 cipio di corrispondenza di Cayley e Brill, sono 2h -f- m (n — 1) le sue coincidenze. 

 E si hanno : 



a) Nei punti ove T è incontrata dalle x generatrici della rigata di cui si 

 cerca l'ordine. 



b) Nei punti in cui T è incontrata dalle n x tangenti di C appoggiate ad essa. 



c) Nei punti in cui V è incontrata dai piani osculatori a C nelle p cuspidi ('). 



(') Questi piani osculatori fan parte della M 3 delle corde come sostegni dei fasci di rette aventi 

 per centri le cuspidi; tutte le rette di quei fasci sono corde improprie di C. Cfr. Levi Beppo, Sulla 

 varietà delle corde di una curva algebrica (" Memorie della R. Acc. di Torino „ (2), t. 48, 1898). 



