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FRANCESCO SEVERI 



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Attualmente il numero dei punti A' che cadono nel punto A da cui essi pro- 

 vengono, quando A coincide con un punto unito, dipende, com'è facile verificare, 

 soltanto dalla dimensione dello spazio ambiente. Quindi se noi rappresentiamo rispet- 

 tivamente con a, p, t, i gradi di molteplicità della prima, seconda, terza classe 

 di coincidenze della nostra corrispondenza, potremo, per determinare a, (3, y, ricor- 

 rere a curve di S r di ordine e genere prestabiliti. 



Si ha l'equazione: 



(1) 2h-\-m(n — 1) = ax -f- 0^ + TP. 



Applichiamo la (1) ad una curva razionale normale di S r , avvertendo che per essa 

 è x — 0. Avremo un'equazione con la sola incognita 0, e quindi ne trarremo: p = r — 1. 



Applichiamo ora la (1) alla proiezione generica su S r di una curva razionale 

 normale di S r+1 . Per essa proiezione il numero x si determina mediante l'ordinario 

 principio di corrispondenza, applicato ad un fascio di iperpiani. Si troverà che : 



x = (r -f l) 2 — (r + 1) = r(r + 1). 



E allora dalla (1) segue: a= 1. Applichiamo ancora la (1) ad una curva di S r 

 proiezione della curva razionale normale di S r+L da un punto di una sua tangente, 

 avvertendo che per essa curva (come rilevasi mediante l'applicazione del principio 

 di corrispondenza ad un fascio di iperpiani) è x — 2r — 1. Dalla (1) allora segue 

 T = r — 2. E dunque si ha : 



x = 2 h + m (n — 1) — (r — l)w, — (r — 2) p ('). 



2. — Ordine della rigata luogo delle corde ognuna delle quali giace in un iper- 

 piano osculatore alla curva, fuori de' suoi punti d'appoggio. 



Seghiamo, come facemmo al n° precedente, la M 3 delle corde della curva ogget- 

 tiva C con un S r _ 2 generico di S r , e sulla curva T che ivi otteniamo come sezione 

 consideriamo una corrispondenza cosi definita: Dato un punto A di T si tiri la corda 

 di C per esso, e per ognuno de' suoi punti d'appoggio si conducano gli m — r iper- 

 piani osculatori a C fuori di essi punti. Questi iperpiani secano T in 2h(m — r) punti 

 che chiamiamo punti A' omologhi di A. Dato un punto A' di V sono m(n — l)(n — r) 

 i punti A da cui esso proviene. La corrispondenza è dotata di valenza nulla, onde sarà : 



2h(m — r) -\- m{n — 1) (ti — r), 



il numero delle sue coincidenze. Le quali hanno luogo: 



a) Nei punti d'appoggio su T delle y generatrici della rigata di cui si cerca 

 l'ordine. 



b) Nei punti d'appoggio su T delle x generatrici della rigata di cui al numero 

 precedente. 



e) Nei punti d'intersezione di f coi piani osculatori a C nelle p cuspidi. 



(') Per lo spazio ordinario : Cfr. Zeuthen, Sur Ics singularités, etc, n° 15. 



