5 



SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



85 



Onde: 



(1) 2 h (m — r) + ni (n — 1) (n — r) — ay -\- P x -f- t P, 



ove con a, P, t si denotano i gradi di moltiplicità rispettivi della prima, seconda, 

 terza classe di coincidenze. Anche adesso si stabilisce subito come sia legittimo per 

 determinare a, (3, t ricorrere a curve di S,. di ordine e genere prestabiliti. Appli- 

 chiamo la (1) alla proiezione generica su S r della curva razionale normale di S r+ , . 

 Per essa è y = 0, onde la (1) dà 3 = r. 



Per la curva insieme di due curve razionali normali di S r la rigata di cui si 

 vuol l'ordine si spezza in due rigate d'ordine uguale; e siccome una qualunque di 

 queste rigate è costituita dalle rette che riuniscono le coppie di punti omologhi nella 

 corrispondenza involutoria che si ottiene sopra una delle due curve, facendo corri- 

 spondere due suoi punti allorquando sono segnati su essa da un iperpiano osculatore 

 all'altra, troviamo : 



y = r 2 {>• — 1) — r(r — 1) = r (r — l) 2 . 



E la (1) allora porge: a = 2. Si applichi infine la (1) alla proiezione su S r della 

 curva razionale normale di S r+1 da un punto di una sua tangente, tenendo presente 

 che per essa è y = 0. Se ne trae f — r — 2. 



E quindi: 



2 h (m — r) -\- m(n — 1) (n — r) = 2y + rx -\- (r — 2) p 

 Sostituendo ivi la espressione di x, ottenuta al n° precedente, si ha: 



y = \\ m{n — 1)0 — 2r)-\-2h{m — 2r) + r(r — !)% + (*• — l)(r — 2)p j (*). 



§ 2. — Numero delle corde principali. 

 JSumero dei gruppi ciclici per una corrispondenza sopra una curva. 



Poligoni principali. 



3. — Chiamiamo corde principali di una curva di S r le corde (generalmente in 

 numero finito) ognuna delle quali giace negli iperpiani osculatori nei due punti di 

 appoggio ( 2 ). Ci proponiamo di determinare il numero di queste corde. 



Chiamiamo con T la corrispondenza che si ottiene su C accoppiando ad un 

 punto della curva i punti di ulteriore intersezione con l' iperpiano osculatore in 

 quello. La corrispondenza T 2 , che si ottiene applicando due volte successivamente 



(') Per lo spazio ordinario : Cfr. Zedthen, Sur les singtdarités, etc, n" 16. 



( 2 ) La denominazione è del Prof. Bestini, il quale determinò il numero delle corde principali 

 di una quartica gobba di seconda specie. Cfr. Bertini: Sulla quartica gobba, ecc. ( u Rendiconti del- 

 l'Ist. Lombardo „ (2), t. 5, 1872). 



