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FBANCESCO SEVERI 



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le operazioni della corrispondenza T, ha gli indici: (m — rf, (n — rf, e, siccome la 

 corrispondenza T ha la valenza uguale ad r, sarà: 



(in — rf -\- (n — rf — 2 r 2 p, 



il numero dei punti uniti della corrispondenza T 2 

 Queste coincidenze si presentano : 



a) Nei punti d'appoggio delle x corde principali, ciascuno da contarsi a volte 

 fra le coincidenze. 



b) Nelle P cuspidi, ciascuna da contarsi P volte. 



c) Nei p, punti in cui l'S, osculatore è stazionario, ciascuno da contarsi |3, 

 volte (* = 1, . . ., r — 1). 



d) Nei d nodi ciascuno da contarsi t volte. 

 Otteniamo dunque l'equazione: 



(1) (m — r) 2 -f (n— rf — 2r 2 p = 2ax + pp -f l)p\P. + fd. 



i 



Applicando la (1) alla proiezione su S r della curva razionale normale di S r+1 da 

 un punto d'una sua tangente, segue: 



2 = 2aa>+P + Pr-i, 



la quale non può esser soddisfatta se non essendo: x = 0, p = f? r _ 1 = l. 



E allora, applicando la (1) alla curva ellittica normale di S r , per cui è: 



_ (r 2 — l) 2 — (r + lj' _ r(r— 2)(r + l) 2 

 X — 2 — 2 



come si deduce con la rappresentazione parametrica per funzioni ellittiche, si trae: 

 o= 1. 



Per una curva di S r proiezione della curva razionale normale di S r+i da un 



punto di un suo S 1+l osculatore è y — | 4 ^ J j , e quindi dalla (1) segue = 1. 



Ci rimane da determinare T- Sia un nodo di C. Allorquando un punto A si 

 avvicina ad su uno dei rami R u di cui è origine, dei punti A' omologhi nella T 

 uno si avvicina ad sull'altro ramo R 2 , di cui è origine; e fra i punti A" 

 omologhi dei punti A' nella T, e quindi omologhi di A nella T 2 , ve n'ha uno che 



(') Il numero dei punti uniti della corrispondenza prodotto delle corrispondenze (a,, Pj, Y t ) , 

 ( a 2, Pj, T2), • • -, ( a k, fk-, Yk), ove le a, g, t denotano rispettivamente gli indici e le valenze, positive 

 o negative, delle corrispondenze considerate, è dato da: 



a,a s . . . a, ; + p,P 2 . . . 8* + (— 1 )*+» . 2 Y,T 2 . . . Yfc J>, 



A questo risultato, sotto una forma così generale, I'Hurwitz giunge nella Memoria : Ueber al- 

 gebraische Correspondenzen, etc. (" Math. Annalen „, Bd. 28, p. 568, 1886). Nel caso che le T siano 

 positive lo stesso si trova mediante una forinola nota del Cayley. Cfr. p. e. Segre, loc. cit., n° 49. 



