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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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col tendere di A ad su R 1; si muove su questo ramo tendendo esso pure ad 0. 

 Quindi il punto conta almeno due volte come punto unito della T 2 , giacche si pre- 

 senta fra le coincidenze e come origine di Ri e come origine di R 2 . Se proviamo che 

 come origine di uno dei rami conta una volta sola fra le coincidenze, avremo provato 

 che t = 2. 



Il punto A sia abbastanza prossimo ad su R, ; dicasi A', quello fra i punti A' 

 omologhi di A nella T che trovasi su R 2 , e A"! quello fra gli omologhi di A 

 nella T 2 , che trovasi su R L . Diciamo inoltre ^ e t t le tangenti ad Ri ed R 2 in 0. 

 La retta AA'j mentre A tende ad 0, si mantiene nell'iperpiano osculatore a R, in 

 A. ed ha per limite la tangente fa e così la retta A', A", ha per limite la t 2 . Quindi : 



lim AA l = lim senAA ' A "' — senfofr) __ ^ 

 AA '« senAÀ-.A', sen 



U m OA j. senOA^A senO^) ^ 



AA '' ~~ 1 senAÓA', ~~ senfofi) — ' 



e AA",, OA essendo dello stesso ordine di AA',, son del medesimo ordine infinite- 

 simale. In altri termini l'ordine di AA"! rispetto ad OA è uguale ad 1. Ed allora 

 è provato che il punto 0, come origine di R lt conta fra le coincidenze di T 2 una 

 volta sola. 



La (1) dunque dà: 



(m— rf -j- (n — r) 2 — 2r 2 p = 2x -f p -\-*Ì pi +• 2d. 



i 



Da questa relazione, mediante le note formolo del Veronese, si potrebbero eli- 

 minare p, Pi , . . . , p r _i ; ma è più semplice osservare che le cuspidi e i punti in cui 

 l'S» osculatore (i = 1, . . . , r — 1) è stazionario, si presentano come punti uniti della 

 corrispondenza T, e, in forza di una utile osservazione ('), ciascuno di essi conta fra 

 le coincidenze una volta sola. Onde: 



(m — r) + (n — r) + 2 rp = p -(- 1 P. , 



la quale confrontata con l'uguaglianza precedente, dà: 



"7") + ("T-J-^Ct 1 )-^ «• 



( 1 ) Cfr. Segre, loc. cit., fine del n" 48. 



O E se la curva ha un punto s-plo ordinario 0, siccome i punti omologhi di 0, come origine 

 di uno dei rami, che cadono in esso, sono in numero di s — 1, e l'ordine del segmento AA', essendo 

 A un punto di uno dei rami per il punto s-plo, ed A' uno degli omologhi che gli sono infinitamente 

 prossimi, rispetto ad OA è uguale ad 1 (il che si prova con lo stesso ragionamento fatto nel testo 

 per un punto doppio), quel punto s-plo conta, fra i punti uniti della T 2 , s(s — 1) volte; e quindi 



produce sul numero delle corde principali un abbassamento di ( * j unità. Il problema delle corde 



principali dal punto di vista della geometria sull'ente, può formularsi così: Data sopra una curva di 

 genere qualsiasi una g r n , trovare il numero delle coppie di punti della curva che sono comuni a due 



