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FRANCESCO SEVERI 



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4. — La considerazione delle corde principali ci spinge ad occuparci del pro- 

 blema assai più generale di determinare il numero dei gruppi ciclici di dato indice v 

 (= Vi^.Vg*»... v 4 *«, ove le v, son numeri primi) per una corrispondenza T di indici a, p 

 e di valenza (positiva o negativa) f, data sopra una curva di genere qualsiasi p; 

 cioè il numero dei gruppi di v punti della curva, tali che applicando v volte conse- 

 cutive la T ad uno qualunque di quei punti, si ritorni a quello passando una sol 

 volta per ciascuno degli altri punti del gruppo. 



La corrispondenza T v , potenza v-esima della T, è dotata, in virtù della forinola 

 di Hurwitz da noi usata nel n° precedente, di: 



) v ; = a v -f-p v +(— lf+i.2T v J> 



coincidenze. — Rappresentiamo con [v] il numero dei punti che fan parte dei cicli 

 d'indice v (dimodoché sarà ~- il numero di tali gruppi): allora i punti uniti di T v si 

 presentano nei [v] punti suddetti, negli ce*, punti che sono uniti per la corrispon- 



V V 



denza T v <i (i r = 1, 2, . . . , q) senza esserlo per alcuna delle corrispondenze T v <i v ^ 

 (ove v,,v,- 2 è una combinazione semplice di classe due dei fattori primi di v), negli 



V 



av,,- s punti che sono uniti per la corrispondenza T v >; v >, senza esserlo per qualche cor- 



V 



rispondenza T v «i v «2 V t" 3 (v,,Vi s v^ essendo una combinazione semplice di 3 delle v x , ... , 



V 



v 7 ), . . . , negli Xi t ,' 2 ...i ? _, punti che sono uniti per la T V- \— i (ove v^v,-, ... v,- 4 _, è una 



V 



combinazione semplice di q — 1 fattori primi di v), senza esserlo per la T VlV2 - v ', e 

 infine negli x l2 ... q punti uniti di quest'ultima. Quindi: 



(I) \y~\ == ) v { £i, £f tj ^-'\h X >\H ^''i'j-.'s— i ■"»'i«»—» s — i ..q • 



V 



Fra i punti che sono uniti per le corrispondenze T v <'i v >' 3 - v >, , i quali sono in nu- 

 mero di Zfrfr...f t I v y j, si presentano i I/,,,...,-,^,...,-, punti che sono uniti per esse 

 corrispondenze senza esserlo per alcuna delle potenze inferiori di T; i punti che sono 



gruppi della serie lineare in guisa che l'un gruppo abbia uno dei punti della coppia come r-plo, e 

 l'altro gruppo presenti la stessa singolarità nell'altro punto della coppia. Si scorge allora una 



ragione più intima del fatto che ogni punto .s-plo produce un abbassamento di ( * ] unità sul nu- 



mero delle corde principali, imperocché le 



coppie (distinte dal punto di vista della geometria 



sull'ente), riunite nel punto s-plo sono coppie soddisfacenti alle condizioni volute rispetto alla serie 

 delle sezioni iperpiane. — La stessa cousiderazione mostra che se la curva possiede Si biosculatori 



(» = 1,..., 1 1) ogni corda che riunisca i due punti d'osculazione di un Si siffatto, conta una volta 



sola fra le corde principali. 



