92 FRANCESCO SEVERI 12 



iperpiani osculatori a C per P, che sono in numero di r\n — r -\- (r — ì)p -\- 1 (. 

 Onde: 



vi ) n— r + (v t — l)p + 1 ( + v 2 ) n— r + (v 2 — l)p + 1 J -f 2t/» = r ) n— r £ (r — % + 1 ( , 



dalla quale segue : t = Vi v 2 . 



Or si consideri sulla C una corrispondenza T 2 generata, col sussidio del punto Q, 

 nel modo analogo a quello con cui si generò T L col sussidio del punto P. 



Se A, A' son due punti di C che si accoppiano in ciascuna delle due corrispon- 

 denze T, e T 2 , esisterà un iperpiano per P, che ha con C un contatto v. -punto in A 

 e v 2 -punto in A', e un iperpiano per Q, avente con C un contatto v r punto in A e un 

 contatto Vj-punto in A'. Posson darsi due casi: 



a) I due iperpiani suddetti sono distinti ; ed allora l'S r _ 2 ad essi comune con- 

 terrà l'S V] _i osculatore in A e l'S Va — i osculatore in A', e quindi sarà uno degli S,_ 8 

 cercati. E necessario avvertire che se V! — v 2 per ognuno degli S._ 2 cercati si ot- 

 tengono due coppie comuni alle corrispondenze T t e T 2 , perchè è indifferente l'ordine 

 in cui si considerano i due punti di contatto. 



b) I due iperpiani possono coincidere. 



Effettivamente ciò accade in corrispondenza degli iperpiani passanti per la 

 retta PQ e aventi con la curva un contatto v r punto e un contatto v 2 -punto. — Il 

 numero di questi iperpiani per una forinola dovuta a De Jonquières è espresso da: 



ViV 2 [(n— r -f 2)(n— r+ 1) -\-(r— 2)(n— r + 1 )p + (v 2 — l)(vi—l)0 — Ì)J se v 1= t= v 2 , 



e dal numero precedente diviso per 2, se V! = v 2 . Ma in tal caso per ogni coppia 

 di punti di contatto degli iperpiani per la retta PQ, si ottengono due coppie co- 

 muni alle due corrispondenze, perchè, al solito, è indifferente l'ordine in cui si con- 

 siderano i punti di contatto come punti omologhi nella Tj o nella T 2 . Quindi anche 

 se v, = v 2 il numero delle coppie comuni alle due corrispondenze, provenienti dagli 

 iperpiani per PQ che hanno con C un contatto v r punto e un contatto v 2 -punto, è 

 espresso dalla formola ultimamente scritta. 



Per la formola citata di Hurwitz il numero delle coppie comuni alle due cor- 

 rispondenze è: 



2yiv» jn—r + (yl—jif + fìì n ~u + (v 2 — i)p + il — Zv'vlp ; 



dunque potremo scrivere: 



2v 1 v 2 )n— r + (v t — l)p+l j \n— r-f (v 2 — l)j>+l { — 2vfv",j9 = ax + 



+ v lV2 1 (n-r + 2) (n-r + 1) + (/— 2) (n-r + Ì^+(v,— i) (v^l'^-ì) ( 



(') Cfr. Jonquières, Mémoire sur les contacts multiples d'ordre quelconque, etc. (' Creile „, Bd. 66, 

 1866); oppure: Brill, Ueber Entsprechen von Punktsystem auf einer Curve Mathematiscke Annalen B> 

 t. 6, pag. 46, 1872). 



