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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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ove x denota il numero che si cerca, e ct = 1 , o cc=2 secondochè è v x =4=v 2 o v t = v 2 . 

 Dopo facili riduzioni si ottiene: 



2v,v 2 ( n —r-\-l \ | v,v, . . , 1 , . . 8 / v. \ / v, \ / p \ 



x = — \ 2 I + ~)nir~2)-r(r-l)\p + -- ( * ^)(.|.). 



Concludendo possiamo enunciare che: 



Il numero degli S r _ 2 che hanno con una data curva di ordine n e genere p appar- 

 tenente ad S r due contatti dati di ordine rispettivi v t — l, v 2 — l, (v l -\-v i = r), è 

 espresso da: 



^ ) + ^ ì « (r-2)-r(r - 1) I, + f ( J ) ( ? ) ( { ) , 



or? a ==1, se v x =?= v 2 ; a = 2, s« Vj = v 2 ( 1 ). 



§4. — Una forinola sopra gli S r _ 3 che hanno 3 dati contatti con una 

 curva di genere qualsiasi immersa in S r . 



8. — Vogliamo calcolare il numero degli S r _ 3 che hanno con una curva di ge- 

 nere p dello spazio S r un contatto Vi-punto, un contatto v 2 -punto, e che la incon- 

 trano altrove. Bisognerà anzitutto che sia : 



Vi + Vi '== ¥■ — 2. 



Calcoleremo il numero delle terne di punti della curva C per ognuna delle quali 

 passa un S r _ 3 avente con C un contatto Vi-punto in un punto della terna, un con- 

 tatto v 4 -punto in un altro, e un semplice incontro nel punto restante della terna. 

 Per ottenere da questo n° il numero che ci siamo proposti inizialmente di calcolare, 

 basterà evidentemente dividere per a, essendo a = 1 se i 3 numeri v 1( v ? , 1 son dif- 

 ferenti fra loro, a = 2 se V[ = v 2 , o se \ t = 1, a = 3 se v t = v 2 = 1. 



9. — Fissiamo in S r un punto P, e consideriamo gli S,_ 3 che hanno con C 

 contatti v r punto e v 2 -punto e sono appoggiati in punti A' alla retta AP che con- 

 giunge P col punto A di C. 



(') Dalla formola di De-Jonquières citata al n° precedente si può trarre il numero degli iper- 

 piani che hanno con una data curva di Sr due contatti, l'uno {r — v,-j-l)-plo e l'altro (r— vj-f- l)-plo 

 (v, -j-v 3 =r). Per dualità si ottiene il n° dei punti di S- da ognuno dei quali escono due iperpiani 

 osculatori che contano t — v, f- 1 e /• — v 2 A- 1 volte rispettivamente fra gli iperpiani osculatori per 

 quel punto. — Fra questi punti si trova ogni punto d'intersezione dell'Sv, — 1 e dell'Sv,— i osculatori 

 nei punti di contatto di un Sr— ! avente con la data curva un contatto v, — punto e un contatto 

 v 2 — punto, ma vi si trovano anche altri punti. Così p. e. se v, = r— 1, v 2 = l, si presentano i punti 

 in cui le tangenti nei punti ove l'St osculatore è stazionario (»' =■ 1, 2, ;• — 1) (le quali tangenti 

 per qualche valore di i esistono di necessità se la curva, come supponiamo, non ha punii multipli 

 e quindi, in particolare, non ha cuspidi) incontrano gli S r — 2 osculatori ad esse appoggiati. — Dunque 

 il problema risoluto dalla fot-mola del testo non si poteva risolvere trasformando per dualità un 

 caso particolare della formola di De-Jonquières. 



