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FRANCESCO SEVERI 



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Al variare di A sulla curva abbiamo una semplice infinità di coppie AA', e il 

 numero delle coincidenze die si presentano in questa infinità di coppie di punti, come 

 si rileva mercè l'applicazione del principio di corrispondenza ad un fascio di iper- 

 piani, si ottiene aggiungendo al numero delle coppie AA' il cui punto A sta in un 

 dato iperpiano, il numero delle coppie il cui punto A' sta in un dato iperpiano e 

 togliendo il numero delle coppie la cui retta AA' appoggiasi ad un dato S r _ 2 . 



Il n° delle coppie il cui punto A giace su un dato iperpiano è dato evidente- 

 mente da: 



n [n — 1 , r — 2 , r — 4 ; Vi , v 2 ] p (*) , 



poiché, come rilevasi proiettando da AP su un S r _ 2 , il numero delle coppie di cui 

 fa parte il punto A è uguale a [n — 1, r — 2, r — 4; v L vj. — Il numero delle 

 coppie AA' il cui punto A' giace in un dato iperpiano è ancora espresso da : 



n[n — l, r — 2, r — 4 ; v 1( v 2 ] p , 



giacché il dato S r _i taglia il cono proiettante da P la curva C secondo una curva C 

 la quale ha in comune un C n punti, che per la M r _ L degli S r _ 3 aventi con C con- 

 tatto Vrpunto v 2 -punto, son multipli secondo: 



O, r — 2, r — 4; \ 1 v,] p — [n — 1 , r — 2, r — 4; ViV,jj 



onde fuori di questi n punti C taglia la M r _ t in 



n[n, r — 2, r-.-i ; v„ v 8 ] p — n )[n, r— 2, r — 4; v t , v 2 ] p — [w— 1, r — 2, r — 4; v^v^l 



punti, ognuno dei quali può assumersi come punto A' di una coppia ben determinata. 



E infine il numero delle coppie la cui retta AA' appoggiasi a un dato S r _ 2 è 

 espresso dall'ordine del cono proiettante da P la curva data, moltiplicato per il nu- 

 mero delle coppie per cui il punto A è dato, ossia ancora da: 



n [u — 1, r — 2, r — 4; v u v 2 ] p . 



Dunque si hanno: 



n [n — 1, r — 2, r — 4; v Xl v 2 ] p 



coincidenze. E si presentano : 



a) Nei punti facenti parte delle terne di cui vogliamo il numero, e nei quali 

 gli S r _ 3 delle terne corrispondenti si appoggiano semplicemente a C. 



b) Nei punti di contatto (v, -f l)-punto degli S r _ 2 per P che hanno con C con- 

 tatti (v, + l)-punto e v 2 -punto, ciascuno da contarsi vrvolte fra le coincidenze ( 2 ). 



(') Rappresentiamo col simbolo: [n, r, k ; v,, v 2 , ... v<] p il numero degli St che hanno con una 

 curva d'ordine n e genere p di Sr contatti v,-punto, v 2 -punto, ... v/-punto ((r — A;)Iv,— t=[k-\-\)(r — k))- 



(-) Che tali punti vadano contati v,-volte fra i punti uniti, si può provare col procedimento 

 esposto nell'Introduzione a questo lavoro (n° II), prendendo come curve particolari le curve razio- 

 nali, per cui il problema di cui ci occupiamo è già risoluto. Cfr. Severi, loc. cit. 



