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FRANCESCO SEVERI 



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§5. — Numero (lef/1i S r che toccano in un punto e r-secano altrove 

 una curva appartenente ad S 2 , n . 



10. — In uno spazio S 2 , +2 consideriamo una curva C di ordine n e genere p. 

 Il numero degli S r+ i passanti per un punto P dello spazio che toccano la curva e 

 la r-secano altrove, è uguale al numero : 



[n, 2r+'Ì, r; 2, 1,1', Ì) p 



degli S r tangenti /--secanti di una curva d'ordine n e genere p di S rr+l . — Ciò pre- 

 messo per ogni punto A di C consideriamo gli S r (r + l)-secanti della curva, appog- 

 giati ad AP, e chiamiamo A' i punti (diversi da A) in cui quegli S r si appoggiano 

 ad AP. Abbiamo così una semplice infinità di coppie AA', le cui coincidenze, al so- 

 lito, si ottengono sommando il numero delle coppie il cui punto A giace in un dato 

 iperpiano, col numero delle coppie il cui punto A' giace in un dato iperpiano e sot- 

 traendo da questa somma il numero delle coppie la cui retta AA' appoggiasi a un 

 dato S 2r . 



Dato un S 2 , + , esso taglia C in n punti ognuno dei quali può assumersi come 

 punto A, e siccome ogni tal punto appartiene ad [n — 1, 2r, r — 1; 1, l] p coppie 

 AA', come rilevasi proiettando C dalla retta AP su un S 2r del suo spazio, saranno 

 ti [n — 1, 2r, /• — 1; 1,..., l] p le coppie il cui punto A giace in un dato iperpiano. 



Un dato S 2r+I taglia il cono proiettante C dal punto P in una curva C d'or- 

 dine n, che ha in comune con C n punti i quali per la M 8r+1 degli S r (r -f~ l)-secanti 

 di C, sono multipli secondo : 



[n, 2>; r — 1: 1, l] p — [n — 1, 2r, r — 1 ; 1, l] p , 



come rilevasi osservando che l'ordine della M 2r+1 è uguale al numero degli S r _ t che 

 (r + l)-secano una curva d'ordine n e genere p appartenente ad S 2 ,, e che una mo- 

 nosecante di C taglia la M 2r+1 fuori del punto d' appoggio sulla curva stessa, in 

 [n — 1, 2r, r — 1 ; 1, l] p punti. 



Dunque la curva C taglierà la varietà M 2r+I fuori dei punti multipli suddetti, in : 



n[n,2r.r — l;l,....l]— « ) [«,2/-,r- 1; 1, ... , [n - 1, 2r,r- 1;1, ... , 



punti, ognuno dei quali può assumersi come punto A', e per ciascuno di tali punti 

 si ha una sola coppia AA' il cui punto A' sta sul dato S 2r+ i. 



Il numero delle coppie la cui retta AA' appoggiasi ad un dato S 2) . è evidente- 

 mente espresso dall'ordine del cono proiettante da P la curva C, moltiplicato, questo 

 ordine ; -per il numero delle coppie A A' per cui il punto A è dato; ossia è uguale a: 



n[n — 1, 2r, r — 1; 1, l] p . 



Si hanno dunque: 



n [n — 1, 2r, r — 1 ; 1, l] p 



coppie in cui i punti AA' coincidono. Di tali coppie se ne ottengono: 



