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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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a) (r-\- 2)[n,2r-\-2,r; 1,..., l] p nei punti d'appoggio degli S r (r + 2) -secanti di C. 



b) [n, 2r -\- 1, r; 2, 1, ... , l] p nei punti in cui gli S r+1 tangenti di C e ulteriormente 

 r-secanti, per il punto P, toccano la C medesima. — Dunque: 



[n,2r+l,r;2,l,... ) l],+ (r4-2)K2r-f-2,r;l,..,l] p = W [ W -l,2r I r-l;l,..,l] /) . 



Ma: 



[n,2r + 2,r-A,...A]M n 7 + 7)-^r")+^lt7-t)- «• 



Quindi : 



[n, 2r + l,r;2,l,...,l] p 



»-r-3^_ (r+2) |»-r-3 



r— 1 



n-r-5 » ) _ vp (r+l)(r+ 2)-in (n-r-l-2i\ / p\ 



r-2 /) - — Zji 1 J «— 2r-2 1 r|2-2» jl/j" 



j + 



-1— 



+2—2* 



Questa formola esaurisce il problema degli S r che hanno dati contatti con una 

 curva di genere qualsiasi immersa in S 2r+1 , giacché se diciamo V; — 1, v 2 — 1, 

 ... v, — 1 gli ordini dei contatti dovrà essere: 



(r+l)É,v,-« = (r+l)», 

 ■ i 



la quale è soddisfatta solo se le v sono in numero di r -f- 1, ed una di esse è uguale 

 a 2, mentre tutte le altre sono uguali all'unità ( 2 ). 

 Riassumendo : 



Il numero degli S, che hanno con una curva d'ordine n e genere p immersa in S 2r +i 

 un contatto (del T ordine) e r semplici incontri, è dato da : 



[«■ *■ + 1. n 2, i IIp £<-i)' 2 '^ (^) ( J ) (•)• 







(') Cfr. Castelncovo, Un'applicazione della geometria enumerativa alle curve algebriche (' Rendi- 

 conti di Palermo „, t. 3, 1889). 

 C) L'uguaglianza: 



(r+l)Iv, - t = (r+ l) 3 , 



può scriversi: 



(r+l)I(v,-l) + r< = i>- + l) s , 



ossia: 



(r+ 1)) r + 1 1)1 

 t = -■ 



Ora, siccome r-f 1 è primo con r, dovrà 

 r>l, accade solo quando l = I(v, — 1), dalla 

 zione fatta per una, che è uguale a 2. 



( 3 ) Si arresti lo sviluppo al primo termine 



Serie II. Tom. LI. 



essere r 4~ 1 — E(v> — 1) divisibile per r, e ciò, se 

 quale rilevasi che tutte le v uguagliano l'unità, ecce- 



nullo. 



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