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FRANCESCO SEVERI 



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§6. — Ordine della M r+i degli S r (r -f- 2)-secanti di una curva di genere 

 qualsiasi immersa in S 2r+l . 



11. — Quando si ha sopra una curva C dello spazio S d un sistema co 1 di gruppi 

 di k punti posti ognuno in un S r (k > r) e s'indica con x il numero dei gruppi del 

 sistema che hanno uno dei punti su un dato S d _ b con x il numero dei gruppi il cui 

 sostegno S r appoggiasi a un dato S d _ r _i in un punto, con y il numero dei gruppi 

 nei quali" due (soli) dei k punti del gruppo coincidono, con z il numero dei gruppi 

 nei quali r -f- 1 (soli) dei k punti appartengono ad un S r _ b si ha la relazione: 



y= 2a> — — 2x k f=^-2z: (\). 

 J r r(r-\-l) \r — 1 / v ' 



12. — Orbene, se noi consideriamo gli oo l S r che (r-f- 2)-secano una curva C, 

 di ordine n e genere p, immersa in S 2r+ i, in virtù della forinola data al n° prece- 

 dente, avremo la relazione: 



r-p-1 1 ry 



x — x ° ~~ ~% 7+2 ' 



giacché, come subito si prova, attualmente è z — 0. 



Nella forinola precedente x denota l'ordine incognito, x denota il numero degli 

 S r (r + 2)-secanti di C che hanno uno dei punti d'incontro con C, sopra un dato S 8r , 

 e y denota il numero degli S r tangenti r-secanti di C. » 



Siccome un S er taglia C in n punti e da ognuno di questi escono tanti S r che 

 (r -f- l)-secano altrove la C, quanti sono gli S r _i che nello spazio S 2r (r + l)-secano 

 una curva d'ordine n — 1 e genere p, in virtù della formola del Castelnuovo che già 

 usammo al n° 10, avremo: 



*=«P-v(";;t!«*)(?)ì 



e, in virtù della formola stabilita al medesimo n° 9, avremo: 



.. _ V (— 1 V 9 (H-l)(r-l-2)— / n-r-\-2i \ i p 



J ~~ Zj. ' »— 2r— 2 \ r+2— 2i I \ i 

 o 



Onde: 



n(r+l) V , . v t h— r -1 — 2« , /"^ V r V , « v (r+l)(r+2)-m / »- r -l-2i \ / p 



r+2 Z-Ji l M r-r-1-2» /'Iti r+2 Zi» 1 ' w-2r-2 \ r+2— 2i |U 



(') Questa relazione fu ottenuta da Schubkrt mediante l'applicazione dell'ordinario principio di 

 corrispondenza a forme fondamentali. 11 Prof. Segre, al quale fu comunicata, la pubblicò nella Nota: 

 Sulle varietà algebriche composte di' una serie semplicemente infinita di spazi !( Rendiconti de' Lincei „, 

 t. 3, 1887), facendone un'applicazione per trovare una formola che lega il genere delle varietà sud- 

 dette alla dimensione dello spazio in cui sono immerse. — La formola di Schubert data nel testo, 

 è fondamentale nella trattazione puramente geometrica della geometria sopra una curva, quale tro- 

 vasi nella citata Introduzione del Prof. Segre. 



