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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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avremo sostituendo e riducendo: 



Dunque: 



7/ numero degli S r _ 2 c/te i« un S r toccano e (2r — h)-secano una curva di ordine n 

 e genere p, è espresso da: 



+3 



u (> — «) a » ^ r— 1— « / \r— 1— i/ \ * 



n — r-\-\ — A In — r — A / j* ^ 



0). 



§8. — Sopra alcune singolarità delle curve di uno spazio a quattro 

 dimension i. 



14. — Ordine della M 3 costituita dai piani tan genti-bisecanti di una curva di S 4 . 



Sopra una retta generica a di S 4 consideriamo una corrispondenza involutoria, 

 chiamando omologhi due punti A, A' di a quando esiste un punto P della curva 

 data C, tale che fra i piani tangenti a C in P, che la tagliano ulteriormente in un 

 punto e che si appoggiano ad a ve n'ha uno passante per A ed uno per A'. 



Siccome il numero dei piani tangenti-monosecanti di C per un punto A di S 4 è 

 uguale a 2(« — 2) (n — 3) + 2p(n — 6), come si deduce proiettando da A su un S J( 

 sarà 2} (n — 2) (n — 3) -j- p(n — 6) j (n — 3) l' indice della corrispondenza. — Le 

 4 (n — 3) ; (n — 2) (n — 3) -\- p{n — 6) \ coincidenze, hanno luogo : 



a) Nei punti in cui la retta a è incontrata dagli x piani tangenti-bisecanti 

 di C, ognuno da contarsi due volte fra le coincidenze ( 2 ). 



b) Nei punti in cui a è incontrata dai piani che giacciono negli S 3 bitangenti 

 di C per a e che congiungono una delle due tangenti in uno di tali S 3 , col punto di 

 contatto dell'altra. 



Ognuna di tali coincidenze va contata mia volta, perchè in uno di questi punti 

 uniti cade uno solo de' suoi omologhi; il qual fatto, a causa della simmetria della 

 corrispondenza, ci abilita ad affermare quanto abbiamo asserito. Il numero di queste 

 coincidenze è uguale al doppio del numero delle bitangenti apparenti di C rispetto 

 ad a, ossia a: 



4(n — 2) (» - 3) -f 8^ (» — 3) + iplp — 1). 



(') Si arresti lo sviluppo al primo termine nullo. 



O Si può verificare che la molteplicità di questa classe di coincidenze è proprio due, ricorrendo 

 alle curve razionali per cui l'ordine che si cerca si può determinare col principio di corrispondenza 

 sulla curva, chiamando omologhi due suoi punti quando per essi passa un piano quadrisecante della 

 curva appoggiato ad a. 



