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SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



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per volta gli artifici che conducono alla loro risoluzione. — Ci proponiamo perciò 

 di rendere più sistematico il metodo funzionale, che pure è un prezioso strumento 

 per sciogliere problemi di geometria numerativa, dando una formola generale riso- 

 lutiva delle equazioni funzionali che più di frequente si presentano in questi problemi. 



20. — Le equazioni funzionali che noi avremo da considerare saranno tutte 

 del tipo : 



qp (#i + x\, Xt + x\, x n + x' n ) = cp (x u x- 2 , x n ) -f cp (x\, x' s , x' n ) -f- 

 ~T~ fipii •••) « ì» •£ 2) ••• % iì)ì 



ove f è una funzione data degli argomenti x u x n , x\, x' n i quali variano nel 

 campo dei numeri interi e positivi (lo zero incluso); e cp è la funzione che si tratta 

 di determinare. 



Diremo che una funzione è un integrale della precedente equazione quando la 

 soddisfa identicamente, e integrale generale si dirà la funzione più generale che sod- 

 disfi identicamente quella equazione. — Non staremo qui a stabilire le condizioni 

 (relative alla natura della funzione f) per l'esistenza di un integrale della equazione 

 considerata (') , giacche nelle applicazioni geometriche a cui miriamo se ne potrà 

 a priori stabilire l'esistenza. 



21. — Cominciamo a integrare l'equazione: 



cp (aj, + £B f == <p (x x ) + cp (x\) -f f(x, ; x\), 



nell'ipotesi che esista un suo integrale. 



Se & è un numero intero, dalla equazione precedente si traggono le seguenti 

 uguaglianze : 



<p(«i + «'i + «"i + + àft = q>tò + + «" + •• • «PO + fthi »'i + «" + ... 4- «PO, 



<p(«'i + «"i + - + «PO - <p(«'i) + q>(rf\ + «"'j + ... + ^')+ fl«'i5 «"ì + - + «PO, 

 q,^ + ... + ^)) = + ^ + ... + ^ + ^ . ^ _j_ ... + ^ 



q>(*p- ,} + «PO - cp(4 k - IJ ) + q>(xPO + /'(^ k - 1) ; «PO, 



che sommate membro a membro dànno: 



<p(*i + «i + - + «PO = <p(«i) + q>(«'i) + - + <p(«PO + ft*i ; *'i + - + «PO + 

 + fi«'i; «"i + - + «PO + - + A4"-" ; «PO- 



(') Fra queste condizioni si presenta evidentemente come condizione necessaria quella che la 

 f(xi , xi, x„; x\, ... x'„) si muti in se scambiando a? t con x\ , x„ con x' n , e reciprocamente. 

 Serik II. Tom. LI. N 



