31 



SOPRA ALCUNE SINGOLARITÀ DELLE CURVE DI UN IPERSPAZIO 



111 



Il numero c) è uguale al numero delle rette comuni alla rigata delle tangenti 

 di C", e al sistema oo 7 (complesso) di rette che giacciono negli S 3 tangenti-bisecanti 

 di C"'. Siccome in un fascio vi sono: 



in' (ri — 4). + n\ (ri — 3) {ri — 6) — \- n\(n\ — 10) 



rette del complesso (tante quant'è l'ordine delle M 3 dei piani tangenti-bisecanti della 

 proiezione di C"' in un S 4 (')), sarà: 



in x n'(ri — 4) + n x n\ {ri — 3) (ri — 6) — ~ n x n\ (n\ — 10) 



il numero cercato. 



Il numero e) si ottiene facilmente supponendo che C si trovi in un S 3 , e cosi 

 pure C"'. E allora evidente che uno degli S 3 cercati non potrà tagliare lo spazio 

 di C" (o di C" ) secondo un piano, e lo spazio di C"' (o di C") secondo una retta, ma 

 dovrà tagliare entrambi gli spazi in cui sono immerse le due curve secondo una 

 retta, o secondo un piano. Nel primo caso sarà uno degli S 3 congiungenti una tan- 

 gente-monosecante di C" con una tangente-monosecante di C"'; e così degli S 3 ri- 

 chiesti ne otterremo : 



1 4n + n, (n — 6)( j 4n' -f n\ (ri — 6)j. 



Nel secondo caso passerà per la retta comune agli spazi delle due curve e conterrà 

 un piano tangente dell'una e un piano tangente dell'altra; e così noi otterremo: 



ni n\ (n — 2) (ri — 2) 

 S 3 . Dunque in tutto gli S 3 cercati sono in numero di : 



) in + », (n — 6) ( | in' + n\ (ri — 6)[- r n l n\ (n — 2) (ri — 2). 



Per calcolare il numero f) suppongasi la C in un S 4 . Questo contiene | ^ ) corde 



di C n ' e per ognuna di esse passano 2(n~ 2)(n — 3) -j- ip (n — 3) -\-2p(p — 1) S 3 bi- 

 tangenti di C n ; se uno degli S 3 che si cercano non giace in S 4 contiene uno degli 

 S s bitangenti di C" e una corda di C"'; onde in tal modo ne otteniamo: 



h')2(n — 3)(n— 4) + ±p(n — 6) 4- 2p(p—l)\. 

 Il numero f) è dunque espresso da : 

 k' ) 2(n- 3)(n - 4) + ip(n - 6) + 2p(p- 1) | + ( J ) j 2(n - 2) (n - 3) + 4p(n - 3) + 

 -f 2p(p ^— i) j = f g ) | i(n — 3)s + 2(n, — 2n + 2) (2n — 9) + ( Wl — 2» + 2) (n, - 2ri) \ — 

 - \ n\ 1 2(»— 3) (n -4)+ 2(n- 6) (n,- 2n -f 2) + \ («, - 2» + 2) («, - 2n) | ■ 



(*) Ved. al n» 14. 



