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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 117 



I. 



1. — Poniamo una relazione bilineare fra le coordinate x s (s= 1,2,34) di un 

 punto di un S 3 che diremo S, e le coordinate x ik (ik = 12, 13, 14, 34, 42, 23) di una 

 retta di un altro S 3 , che diremo Z. Essa sarà del tipo 



(1) Z t k, s c iKs x ik x s = 0, dove i, k, s= 1, 2, 3, 4 mentre c iK , = — c W) , 



e determinerà fra i punti di S e le rette di I una corrispondenza tale che al punto 

 di coordinate x s di S corrisponde in Z il complesso di coordinate 



(2) pSa- = ZjCjs,,», 

 e alla retta x xì: di Z il piano in S di coordinate 



(3) i\i s = l lk c lkiS x tk . 



I complessi lineari (2) formano un sistema lineare di 3 a specie che può essere 

 formato da tutti i complessi lineari aventi in comune due rette distinte, oppure 

 coincidenti, oppure un fascio di rette; secondo che accade il primo, il secondo, o il 

 terzo caso diremo che il connesso è della l a , 2 a o 3 3 categoria. — Supponendo, 

 come noi faremo sempre, quando non avvertiremo in contrario, che non sieno tutti 

 nulli i minori di 4° ordine della matrice 



| s=l,2,3,4 



( » = 12, 13, 14, 34, 41, 23 



le (2) (3) mostrano che a un complesso del sistema (2) corrisponde in S un sol punto, 

 mentre a un piano H s di S corrispondono in Z le rette di una serie rigata, le cui 

 equazioni in coordinate di rette sono ad esempio 



^i : ^2 : ^3 : ^4 = £t* c «*>i : Z^c^a;^ : Z^c^a^t : Z^Co^^ti 



le quali infinite serie rigate hanno tutte in comune le rette che appartengono a tutti i 

 complessi del sistema (2). Se queste rette coincidono, cioè se il connesso è della 

 2 a categoria, le serie rigate son poste su quadri che aventi in comune una retta e 

 in ogni punto di questa il medesimo piano tangente. Se il connesso è della 

 3 a categoria tutte le serie rigate si scindono nel fascio delle rette comuni a tutti i 

 complessi (2) e in un fascio variabile avente col primo una retta comune. 



Se il piano 5 S di S descrive un fascio, la quadrica contenente la serie rigata 

 corrispondente descrive in Z pure un fascio, che ha per base; per un connesso della 

 l a categoria, le due rette fondamentali comuni a tutti i complessi, e lo direttrici della 

 congruenza lineare base del fascio di complessi corrispondenti ai punti dell'asse del 

 fascio dei piani; per un connesso della seconda categoria, le due direttrici analoghe 



