122 



EMILIO VENERONI 



8 



Nasce così tra i punti e i piani M e u' di (SI), una corrispondenza nulla [13] 

 tale che a ogni punto corrisponde un piano per esso che si dirà piano focale del 

 punto rispetto al connesso e ad ogni piano corrispondono tre punti di esso che si 

 daranno focili del piano rispetto al connesso. 



Se M descrive una retta r, il piano corrispondente u' inviluppa un cono quadrico. 



Infatti se N è un altro punto qualunque di (SI), i piani polari di N rispetto 

 ai complessi corrispondenti ai punti M di r formano un fascio, il cui asse è la retta 

 che da N s'appoggia alle direttrici della congruenza lineare comune a tutti quei 

 complessi. Questo fascio di piani viene segato da r in una punteggiata (M') proiettiva 

 alla (M). I due punti uniti in tale projettività sono tali che il piano polare d'ognuno 

 di essi rispetto al complesso corrispondente passa per N. Quindi l'inviluppo dei 

 piani u' è della seconda classe. 



Se M descrive un piano, il piano focale u' inviluppa una superficie del 3° ordine 

 con quattro punti doppi. 



Infatti, poiché il piano rr dei punti M contiene oo 2 rette, il richiesto inviluppo 

 contiene co 2 coni quadrici, di cui due qualunque hanno un piano comune. Inoltre 

 l'inviluppo stesso è della 4 a classe : preso infatti un punto N fuori di tt , il piano 

 polare di N rispetto al punto M variabile su tt descrive una stella proiettiva al 

 piano tt. Esiste quindi su tt una conica C„ di punti tali che i loro piani focali pas- 

 sano per N. Così per un altro punto P si troverà su tt una seconda conica C p . I 

 quattro punti comuni alle coniche C„ e C p son tali che i loro piani focali passano 

 per la retta NP. Ciò mostra che l'inviluppo è della 4 a classe, ed è quindi, per l'os- 

 servazione antecedente, l'inviluppo correlativo alla superficie di Steiner ed è allora 

 formato dai piani tangenti di una superficie del 3° ordine con 4 punti doppi. Inoltre 

 l'inviluppo ha un piano triplo nel piano tt e tre fasci di piani doppi che hanno per assi 

 le congiungenti le coppie di fochi del piano tt. 



5. — Se il piano u' ruota intorno a un punto P, i punti corrispondenti descrivono 

 una quadrica (Q). 



Infatti i piani corrispondenti ai punti di una arbitraria retta r formano un cono 

 quadrico: di questi piani pertanto due passano per P, e vi sono quindi su r due 

 punti del luogo richiesto. 



Tutte le quadriche (Q) costituiscono un sistema lineare con cinque punti base: questi 

 cinque punti sono tali che ad ognuno di essi corrisponde un complesso lineare speciale 

 il cui asse passa pel punto. 



Intanto tali cinque punti si possono trovare nel modo seguente: se il connesso è 

 della prima categoria, si consideri in (SI) la quadrica (C): le sue due serie di gene- 

 ratrici g a g b sono riferite proiettivamente ai piani per le due rette fondamentali a, b 

 rispettivamente (I, 1): gli incontri di ogni generatrice col piano corrispondente si distri- 

 buiscono in due cubiche gobbe C tt C 6 poste su (C), e che avendo per corde le gene- 

 ratrici di sistema contrario su (C), si incontrano in cinque punti. Per ciascuno di 

 questi passando i piani corrispondenti alle due generatrici di (C) incrociantisi in esso, 

 passa anche l'asse del complesso speciale corrispondente. — Se il complesso è della 

 seconda categoria, la quadrica (C) è un cono; le sue generatrici corrispondono pro- 

 iettivamente ai piani ed ai punti dell'unica retta fondamentale «, che siano piani e 



