9 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 123 



centri dei fasci di rette assi di complessi speciali corrispondenti ai punti delle gene- 

 ratrici. Il luogo dei punti in cui si incontrano le generatrici di (C) e i piani corri- 

 spondenti al fascio a è una cubica gobba C a , ai cui punti, come assi dei corrispon- 

 denti complessi speciali, corrispondono nella congruenza speciale d'asse a, le rette di 

 una rigata gobba del 3° ordine di cui le direttrici, semplice e doppia, coincidono 

 in a. Quindi C a , che ha chiaramente a per corda, incontra fuori di a la detta rigata 

 in cinque punti che sono proprio i cinque punti richiesti. — Se infine il connesso 

 è della 3 a categoria, (0 in) essendo il fascio delle rette fondamentali, la quadrica (C) 

 si spezza in due piani a, 3 : a corrispondendo nei suoi punti proiettivamente alle 

 rette della stella (0) e p a quelle del piano uu : allora esistono sopra a tre punti per 

 cui passa l'asse del complesso speciale corrispondente : così pure in 3 w esistono due 

 simili punti, che sono i punti uniti della proiettività che si ha su 3uu, considerando 

 i suoi punti una volta come punti di 3, e l'altra come sezioni degli assi appartenenti 

 al fascio che in w corrisponde alla retta 3 w di 3- — Tali cinque punti di cui si è 

 in ogni caso constatata l'esistenza si diranno punti uniti del connesso. — Nella cor- 

 rispondenza poco fa stabilita fra i punti e i piani di (SZ) i cinque punti uniti sono 

 eccezionali. A ciascheduno di essi corrispondono tutti i piani della stella che lo ha 

 per centro. Segue tosto che la quadrica (Q) relativa a un punto qualunque di (SZ) con- 

 tiene tutti e cinque i punti uniti. — Osservando infine che dei piani passanti per 

 una retta sono fuochi i punti della quartica in cui si segano le quadriche (Q) rela- 

 tive a due punti qualunque della retta, segue che il sistema (Q), contenendo tutto il 

 fascio determinato da due sue quadriche qualunque, è un sistema lineare proiettiva- 

 mente riferito ai punti di (Si), e con ciò risulta dimostrato completamente il Teorema. 



6. — Sia ir un piano ed ABC i suoi fochi: se un punto M descrive la retta AB, 

 il complesso corrispondente descrive un fascio: la retta AB appartenendo ai com- 

 plessi corrispondenti ai punti A, B. appartiene a tutti i complessi del fascio. — Onde 

 il piano focale di un punto qualunque di AB passa per AB, o anche conducendo per 

 AB un piano qualunque, due dei suoi fochi sono su AB, sulla quale tali coppie di 

 fochi formano una involuzione quadratica. — Siccome poi i tre fochi di un piano si 

 possono riguardare come i 3 punti che insieme ai 5 punti uniti formano il gruppo 

 degli 8 punti base della rete di quadriche (Q) corrispondente ai punti del piano, 

 segue che Le rette che congiungono le coppie di fochi di un medesimo piano sono i 

 raggi principali del sistema di quadriche (Q). (Haicptstrahlen). Esse si diranno anche 

 l'aggi principali del connesso e possono definirsi in uno dei tre modi seguenti: 1° Con- 

 giungenti due fochi di un medesimo piano. — 2° Congiungenti due punti base (che 

 non sieno i punti uniti) di una rete di quadriche (Q). — 3° Rette che appartengono 

 a tutti i complessi corrispondenti ai loro punti. 



E chiaro infine che / raggi principali di un connesso formano una congruenza [23] 

 del 2° ordine e della .3 a classe. I cinque punti uniti sono, per essa, punti singolari di 

 2° ordine: esistono poi 10 punti e 10 piani singolari di 1° ordine centri e piani di 



10 fasci di raggi principali. Queste ed altre proprietà di tale congruenza sono ben 

 note, e verranno, più sotto, quando occorra, ricordate (*). 



(*) Per tale congruenza [23] cfr. ad esempio i trattati del Reye e dello Sturm e le memorie di 

 Reye, Voss, Stahl, Schumacher. 



