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EMILIO VENERONI 



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La collinoazione che in ogni piano tt nasce facendo corrispondere a ciascun 

 punto A di tt il polo A' di tt rispetto al complesso corrispondente ad A, determina 

 un connesso piano [11] in cui al punto A corrisponda il fascio di raggi di centro A'. 

 — Tale connesso piano o anche la collineazione che lo determina, si dirà la sezione 

 del connesso dato fatta con tt. Se il piano tt è generico, i 3 punti uniti della collinea- 

 zione sono i fochi (distinti) del piano tt. Se tt tocca la superficie focale della con- 

 gruenza [23] dei raggi principali, dei 3 raggi principali che giacciono in tt, due coin- 

 cidono in uno, uscente dal punto di contatto di tt, e quindi dei 3 fochi di tt. l'uno 

 è il punto di contatto e gli altri due coincidono nell'incontro del raggio principale 

 doppio coll'altro raggio principale giacente in tt. Ciascuno dei piani singolari di 

 1° ordine della congruenza [23] contiene un fascio di raggi principali, onde segherà 

 il connesso in una omologia, di cui il centro è il punto singolare di 1° ordine che 

 giace nel piano, e l'asse è la congiungente dei due punti singolari di 2° ordine, cioè 

 dei due punti che giacciono nel piano (*). 



Per un connesso generale esistono dunque dieci piani che lo segano in omologie; 

 per ogni coppia di punti uniti passa uno di tali piani. Se il connesso è della 3 a cate- 

 goria, di tali dieci piani singolari, uno è il piano del fascio fondamentale il (piale 

 sega il connesso in una collineazione degenere, mentre gli altri 9 piani singolari lo 

 segano in omologie. 



7. — Se il connesso che si considera è della l a categoria, sono ben determinati 

 i cinque punti uniti e le due rette fondamentali distinte. Viceversa dati 5 punti e 

 due rette in posizione generica, è determinato in modo unico il connesso che hanno 

 quei 5 punti come uniti e quelle due rette come rette fondamentali. — Infatti dei 

 cinque punti sono determinati i complessi corrispondenti che hanno per assi le rette che 

 uscendo da ciaschedun punto unito s'appoggiano alle fondamentali. Perciò è determi- 

 nata la corrispondenza omografica fra i punti dello spazio e i complessi del sistema oo 3 

 di cui sono le date le due rette fondamentali, e quindi il connesso. — Considera- 

 zioni analoghe conducono a concludere che è determinato un connesso della 2 a cate- 

 goria quando sia data la congruenza speciale avente per asse l'unica retta fonda- 

 mentale e formata dagli assi dei complessi speciali del sistema, e inoltre i 5 punti 

 uniti. — Per un connesso della 3 a categoria non si possono assegnare ad arbitrio i 

 punti uniti e le rette fondamentali : due punti uniti giacciono nel piano delle rette 

 fondamentali, ed una terna giace fuori (II, 5). Così assegnati i punti uniti e il fascio (Ouu) 

 delle fondamentali, benché sia, come nei casi precedenti, ben determinato il sistema oo 3 

 di complessi relativo al connesso, non è determinato il connesso: poiché se di cia- 

 scuno dei 3 punti uniti della terna è noto l'asse del complesso speciale corrispon- 

 dente, che è la retta che proietta il punto da 0, non sono noti gli assi analoghi per 

 punti uniti della coppia, di cui sappiamo solo che devono passare per tali punti e 

 giacere in uj. Perchè il connesso sia determinato occorrerà dare, in uu, anche il 

 punto R di incontro dei detti due assi. — Da queste osservazioni si possono dedurre 



(*) Cfr. Reye o Stuhm, op. cit. 



