11 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 125 



tosto le condizioni perchè due connessi della stessa categoria si possano trasformare 

 l'uno nell'altro con una omografia. Se sono IL, a, b; U' r , a', b' (r = l, 2 } 3, 4, 5) 

 i punti uniti e le rette fondamentali di due connessi T V , allorché la figura formata 

 dai punti U r e dalle rette a, b sarà proiettiva all'analoga formata dai punti U' r ed 

 a'b', allora, e allora soltanto, si potrà con una trasformazione lineare passare da V 

 afe precisamente con quella trasformazione lineare che muta U r , a, b, in U',. a', b'. 

 Segue che Un connesso della prima categoria ha otto invarianti assoluti, tanti essendo i 

 parametri che determinano le rette «, b rispetto al pentaedro (U r ). — Se si consi- 

 derano le due cubiche gobbe che passando pei punti U r hanno per corda rispettiva- 

 mente le a, b, queste coincidono con quelle cubiche gobbe G a C t che abbiamo ante- 

 riormente incontrato (II, 5). Sopra ciascuna di esse i cinque punti uniti e gli appoggi 

 con a, oppure con b formano un gruppo di 7 punti, formanti fra loro quattro rap- 

 porti anarmonici indipendenti (invarianti assoluti del gruppo). In tal modo si hanno 

 otto birapporti che possono, com'è chiaro, assumersi come gli otto invarianti asso- 

 luti del connesso. Se i connessi T f sono della 2 a categoria, detti U,., a, (A); U' r , a' (A)' 

 rispettivamente i punti, la retta fondamentale e la congruenza speciale di cui essa 

 è l'asse, allorché la figura formata dai punti U r e dalla retta a si potrà, con una 

 trasformazione lineare, trasformare nella figura formata dai punti U' r e dalla retta a', 

 per modo che la stessa trasformazione muti la congruenza (A) nella (A/), allora, e 

 allora soltanto, T e f si potranno linearmente trasformare l'uno nell'altro. Ora perchè 

 ciò avvenga è necessario in primo luogo che il gruppo dei punti TL e della retta a 

 sia proiettivo al gruppo dei punti U' r e della retta a' e ciò importa che i quattro 

 parametri indipendenti che determinano a rispetto al gruppo (U r ) sieno eguali ai 

 quattro che determinano a' rispetto al gruppo (U' r ). Inoltre poiché a determinare la 

 congruenza speciale d'asse a rispetto al pentaedro (IL) occorrono 3 parametri, occorre 

 che questi sieno eguali agli analoghi che determinano la congruenza speciale d'asse a' 

 rispetto al pentaedro (U' r ). Si conclude che Un connesso della 2* categoria possiede 

 sette invarianti assoluti. La prima quaterna di invarianti assoluti può, sulla cubica C a 

 passante per i punti IL e avente a per corda, interpretarsi come nel caso prece- 

 dente. Per gli altri tre parametri possono prendersi i birapporti che determinano 

 su a i centri B,. (r = 1, 2, 3, i, 5) dei fasci della congruenza giacenti nei piani rispet- 

 tivi aA r , dei quali birapporti tre soli sono indipendenti, dovendo il gruppo dei 

 punti (U r ) sopra C essere proiettivo al gruppo dei punti (B r ) su a. 



Se i connessi T f sono della terza categoria, le condizioni che fanno sì che 

 l'uno sia trasformabile linearmente nell'altro, sono quelle che assicurano che il gruppo 

 dei punti 0, (A,.), R relativi al connesso T sia trasformabile linearmente nell'analogo 

 gruppo 0', (A' r \ R' relativo al secondo. S'intende che le posizioni dei punti 0, A,., R non 

 sono arbitrarie, ma soggette alle limitazioni che scaturiscono dalle osservazioni pre- 

 cedenti. Quindi, fissati ad arbitrio i punti A,, e il punto 0, il punto R non si può 

 prendere a caso, ma deve giacere sul piano determinato da e da una coppia di 

 punti A r (piano del fascio delle rette fondamentali). Segue che il connesso T possiede 

 cinque invarianti che sono i tre parametri che determinano rispetto al pentaedro 

 (A r ), e i due che determinano R sul detto piano. Quindi Un connesso della 3* cate- 

 goria ammette cinque invarianti assoluti. 



