13 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 127 



i punti comuni alle Q[ 0) = 0(i = l, 2, 3) sono quelli che annullano Qf e Q 2 0) , tolto, 

 se vi è, ogni punto per cui sia x 3 = 0. Ora posto nelle Qf" Q 2 0) anche x 3 = la pre- 

 cedente diviene 



che è per la (7) identicamente verificata. Perciò delle soluzioni di Qf 0) =0 l'una dovrà 

 essere x 2 = 0, l'altra dovrà appartenere anche a Q 2 OP) =0. Segue quindi che tre sono 

 i punti comuni a Qi n) Q!> 0, Q3 0) , e quindi 5 i punti comuni a Q1Q2Q3 per cui non sia 

 x± — 0, e quindi sono cinque i punti base del sistema (Q). 



9. — Diamo in questo numero le forme ridotte dell'equazione di un connesso 

 generale di ciascuna delle tre categorie. Per i connessi delle prime due categorie si 

 assuma come tetraedro di riferimento il tetraedro che ha per vertici quattro punti 

 uniti e per punto unità il quinto punto unito. Per la prima condizione Y equazione 

 del connesso è del tipo 



oci{a 3i x 3t + a«a>42 + a :3 x 23 ) -J- aj 2 (& u a?« + & 13 a?5 -J- b 3i x 3i ) -f- 

 -j- Xs\CuXn -\- c Zi x 2 i -f- CiiXiì) -f~ Xi{d 23 x 23 -\~ d 3i x 3 \ -f- d^x^) == 



e le quattro quadriche sono 



XaXi(ca + d 3X ) + ^2(^41 — d l2 ) + ^ 3 (— b 13 — c u ) = 

 £ t %t(d tì + «42) + ^(«ii — «23) + x 3 Xi{— c 2i — C?2 3 ) = 

 XiX^Oa -f 6 13 ) + x&Ma — è 31 ) + x&ii— d 3l — a M ) = 

 XiX 3 (b si -f Cgi) -f- ^(o^ — c a ) + a^— a« — b n ) — 0. 



Allora la condizione che il punto unità sia il quinto punto unito importa che le 

 quattro Q t passino per esso, e che sia quindi 



Ca + d 31 -f b n — c?i2 — 613 — c 12 = 



«\ 2 + «42 + C12 «03 — C 21 C?23= 



«23 + b l3 -j- ^ — i 31 — f^t — a 34 = 



634 + C 24 + C( ii — C n — «42 hi = 



delle quali una è conseguenza delle tre rimanenti. In virtù di esse pertanto nella 

 equazione del connesso non compaiono più che otto costanti non omogenee indipen- 

 denti, che è proprio il numero degli invarianti assoluti di un connesso della l a cate- 

 goria. — Se poi oltre alle precedenti scriviamo anche l'unica condizione che assicura 

 che la quadrica (C) è un cono, il connesso rappresentato dall'equazione data è della 

 2 a categoria e nella sua equazione non compaiono più che sette costanti non omogenee, 

 com'è il numero degli invarianti di tale connesso. 



Per un connesso della terza categoria sembra più conveniente la seguente dispo- 

 sizione degli elementi di riferimento. Il centro del fascio delle rette fondamentali si 



