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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 



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Nel 1° caso tutti i punti dello spazio sarebbero uniti, perchè al complesso corri- 

 spondente a un punto M dovendo appartenere tutti i fasci di raggi col centro in M 

 e il piano per M, al punto M generico corrisponderebbe un complesso speciale 

 con l'asse per M. Onde il sistema lineare oo 3 di complessi, relativo al connesso, 

 sarebbe composto tutto di complessi speciali, il che è assurdo. Nel 2° caso la qua- 

 drica (0) dovrebbe essere da ogni piano segata in rette, epperciò spezzarsi in due 

 piani, ciò che non avviene pei connessi delle l e due classi. — Ciò mostra che i tre 

 casi sopra enunciati sono i soli possibili. Ora essi si danno veramente. 



In 1° luogo per costruire un connesso della l a categoria con una retta di punti 

 uniti, osservo che se tal retta esiste, essa è generatrice della quadrica (C) e corri- 

 sponde proiettivamente ad un fascio di raggi della congruenza che ha per direttrici 

 le due rette fondamentali a, b; anzi tale corrispondenza è prospettiva; perciò la retta 

 unita u incontra una delle rette fondamentali, e sia a. Presa dunque una retta u che 

 ne incontri una seconda a, e sia in posizione generale rispetto ad una terza b. si 

 immagini una qualunque quadrica (C) che abbia per generatrice la retta u : sulla (C) 

 vi sono due sistemi di generatrici: uno di questi sistemi contiene la u, l'altro è for- 

 mato da rette incidenti la u: si riferisca allora il fascio di piani per a in modo qua- 

 lunque alle generatrici del primo sistema, purché sieno omologhi il piano a « e la 

 generatrice u. E il fascio di piani per b si riferisca proiettivamente alle generatrici 

 del secondo sistema, per modo però che un piano per b e una generatrice di tale 

 sistema sieno fra loro corrispondenti quando s'incontrano in un punto della retta u. 

 — La quadrica (C) è così, in modo determinato, riferita proiettivamente nei suoi 

 punti alle rette della congruenza di direttrici a, b per modo che ai punti di u cor- 

 rispondono rette passanti pei punti stessi. — E considerando queste rette come assi 

 di complessi speciali, la corrispondenza ora posta determina un connesso pel quale 

 le rette (a, b) sono fondamentali, la quadrica assegnata è la quadrica (C), e la retta u 

 è tutta di punti uniti. — E questo è il modo più generale per costruire un connesso 

 siffatto. — Delle due cubiche C„ G b la prima degenera nella retta u e in una conica 

 appoggiatesi in un punto ad u: la seconda si spezza nella retta u e nelle due gene- 

 ratrici di (C), di sistema contrario ad u, che s'appoggiano a b. Se queste sono h k, 

 ognuna di esse incontra la quadrica precedente in un punto che è unito pel con- 

 nesso. Cioè Fuori della retta unita esistono ancora due punti uniti. Il sistema delle 

 quadriche (Q) ha per base la retta unita « e i due punti uniti A, B. Fra i raggi 

 principali vi sono quelli che si appoggiano ad u, che formano una congruenza di 

 1° ordine e di 2 a classe perchè di ogni piano un foco è sopra u, e quelli che non 

 s'appoggiano ad w, che formano una congruenza lineare. Poiché ogni piano per u sega 

 il connesso in una omologia, essendo u tutta di punti uniti, i raggi principali della 

 l a specie sono le rette unite nelle infinite omologie determinate dal connesso nei 

 piani per u. I centri di tali omologie formano quindi una conica appoggiata ad u in 

 un punto. Il piano a u sega il connesso in un connesso piano degenere. — Infine il 

 sistema lineare oo 3 delle quadriche (Q) contiene due fasci di quadriche spezzate in 

 due piani, poiché il sistema oo 4 determinato dalle sole condizioni che i punti di u e 

 i punti A e B ne sieno punti base, contiene le due reti di quadriche spezzate in due 

 piani, formate l'una dal piano A « e da un piano qualunque per B, l'altra dal piano B u 

 e da un piano qualunque per A. Segue che gli assi dei fasci di piani suddetti sono 



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