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EMILIO VENEROXI 



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due rette l m, per A e per B. — Un piano qualunque per l appartenendo intera- 

 mente a una quadrica (Q) sega le quadriche (Q) stesse nelle coniche di una rete. A 

 questa appartengono le coniche degeneri costituite dalla retta che unisce A col punto 

 d'appoggio di u col piano, e dalle rette del fascio in cui il piano stesso sega il fascio 

 di piani d'asse m. Le rette di questo fascio sono, di conseguenza, raggi principali 

 per il sistema di quadriche i^Q) non appoggiantisi ad u: onde Le direttrici della con- 

 gruenza lineare dei raggi principali non appoggiantisi ad u sono le rette 1 m. Si ha 

 quindi: In un connesso avente una retta unita esistono tre fasci di piani seganti il 

 connesso in omologie. Gli assi di questi fasci sono la retta unita, e le rette 1, m. I centri 

 delle omologie poste in piani per 1 sono su m e viceversa: i centri delle omologie poste 

 in piani per u ; sono sopra una conica che s'appoggia ad u. 



A determinare il connesso si possono fissare i seguenti elementi ad arbitrio : le 

 rette a, u incidenti in P, la retta b generica rispetto alle prime, i punti A e B e 

 una quadrica generica, come quadrica (C), passante per u. A, B. Infatti in tal caso 

 è nota la corrispondenza che deve intercedere fra i piani per b e le generatrici di 

 sistema contrario ad u e così quella che sta fra i piani per a e le generatrici del- 

 l'altro sistema: ai tre piani a u, a A, aB devono infatti corrispondere la u, e le gene- 

 ratrici uscenti da A e da B. Si possono quindi costruire le cubiche degeneri C G b , 

 e quindi il connesso. — Ora si dicano A B gli incontri della generatrice di (C) del 

 sistema di u che esce da A, colla generatrice h dell'altro sistema che esce da B, e 

 della generatrice di (C) del sistema di u che esce da B colla generatrice A- dell'altro 

 sistema che esce da A. — Fissati su h e k i punti A B è determinata (C) dalle 

 condizioni di contenere u, h, k, AB , BA . — Segue tosto che un connesso di questa 

 natura ha quattro invarianti che sono il birapporto dei punti AA coi punti d'ap- 

 poggio di k colla u, l'analogo birapporto pei punti BB , e i due parametri che fis- 

 sano A nella stella (P). 



11. — Mi propongo ora di costruire un connesso con una conica {e) luogo di 

 punti uniti. — Per la conica (e) conduco ad arbitrio una quadrica (Ci, e immagino 

 due rette sghembe a, b appoggiate ad (e). Si facciano corrispondere alle generatrici 

 g a dell'un sistema di (C) i piani del fascio a che contengono i rispettivi loro punti 

 d'appoggio con (e); cosi pure alle generatrici dell'altro sistema g h si facciano corri- 

 spondere i piani per b che contengono i loro punti d'appoggio con (e). Si è allora 

 riferita proiettivamente la quadrica (C), nei suoi punti, alle rette della congruenza 

 di direttrici a, b per modo che a un punto della conica {e) corrisponde una retta 

 passante pel punto stesso. E considerando le rette appoggiate ad a e è come assi 

 di complessi speciali risulta determinato un connesso di cui (e) è una conica di 

 punti uniti. E questo è il modo più generale per determinare un connesso di tale 

 natura. La cubica C a si decompone nella conica unita (e) e nella generatrice del 

 sistema g a che s'appoggia al punto dove a incontra di nuovo (C) fuori di {e). Così 

 la cubica C b si decompone nella conica (e), e in quella generatrice del sistema g b che 

 s'appoggia al punto dove b incontra di nuovo (C) fuori di (e). A far parte rispetti- 

 vamente di C a C 6 entrano così due generatrici h, k di (C) appartenenti a sistemi 

 contrari, epperò incontrantisi in un punto 0, unito pel connesso. Dunque fuori della 

 conica unita v'ha un punto unito isolato. Il sistema delle quadriche (Q) dovendo avere 



