17 SUI CONNESSI BILINEAKI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 131 



per base la conica (e) e il punto è completamente determinato dai suoi elementi base 

 e ad esso quindi appartiene la quadrica (C). La congruenza dei raggi principali si 

 scinde anche in questo caso: infatti di ogni piano due fuochi sono sulla conica 

 unita (e* : quindi sono raggi principali del connesso tutte le rette del piano della conica 

 unita. Esiste inoltre una congruenza del 2° ordine e di 2 a classe costituita da raggi 

 principali del connesso unisecanti la conica (e) , come si vede tosto considerando le 

 rette che uniscono un punto qualunque cogli incontri con (e) del piano focale del 

 punto. — Tale congruenza ha nella conica (e) una linea singolare e in un punto 

 singolare di 2° ordine, poiché è chiaro che ad essa appartengono tutte le rette che 

 da proiettano i punti di (e). Quindi essa può essere di questi due tipi: o è formata 

 dalle rette appoggiantisi ad (e) e ad una retta per non incidente (e), oppure è for- 

 mata dalle tangenti al cono quadrico che da proietta (e), nei punti della conica (e). 

 Ma se si avverasse il primo caso, un piano condotto per la direttrice rettilinea per 0, 

 dovrebbe contenere due fasci di raggi principali, e il connesso sezione del dato col 

 piano sarebbe un connesso identico; tutti i punti di (C) sarebbero uniti, ciò che è 

 assurdo. — Si avvera dunque il secondo caso. — I piani focali di ogni punto M del 

 cono che da proietta (e) segano il connesso in un connesso piano che avendo per 

 punti uniti 0, M e l'appoggio di M con (e) è una omologia avente M per asse e 

 per centro l'ulteriore incontro del piano focale con (e). Ma se tale ulteriore incontro 

 non coincidesse col punto d'appoggio di M con (e) e fosse invece un punto diverso, 

 H, la congruenza dei raggi principali unisecanti {e) conterrebbe il fascio che ha per 

 centro H, e per piano A M, che è assurdo, essendo formata dalle tangenti al cono 

 (0 (e)) nei punti di {e). Segue dunque che A ogni punto del cono (0 (e)) corrisponde 

 come piano focale il piano tangente in esso al cono, piano segante il connesso in una 

 omologia singolare. 



E da notarsi che la proprietà trovata prima che la quadrica (C), è nel caso in 

 questione, una quadrica (Q), è caratteristica per i connessi di questa natura. Se 

 infatti la quadrica (C) di un connesso l~, è luogo dei punti i cui piani polari passano 

 per un punto C di (C), come deve succedere per la definizione data per le quadriche (Q), 

 un piano qualsivoglia per C sega (C) in una conica (e) per C, ai punti della quale 

 corrisponderanno come assi di complessi speciali le generatrici di una serie rigata, 

 per modo che il piano che proietta da ogni punto di (C) la generatrice corrispon- 

 dente della serie passa per C. Ma nel piano di (c) si trova una retta della congruenza 

 (a b), il cui punto corrispondente deve quindi trovarsi su (c): tale retta appartiene 

 allora alla serie rigata, e la sezione della quadrica che contiene questa serie col 

 piano che si considera, si scinde nella retta nominata e in una direttrice della serie 

 riferita prospettivamente alla conica (c), quando a ogni punto di (c) si faccia corri- 

 spondere l'incontro di tale direttrice colla generatrice della serie rigata, che è asse 

 del complesso speciale corrispondente al punto fissato. Risulta pertanto che i due 

 punti dove la direttrice sega la conica (e) sono due punti uniti del connesso. Quindi 

 in ogni piano per C giacendo due di tali punti, il connesso ammette una conica di 

 punti imiti. 



Infine si noti che la corrispondenza fra punti e piani determinata dal connesso, 

 diventa nel presente caso una reciprocità birazionale. Infatti non solo a ogni punto 

 corrisponde un determinato piano focale, ma altresì di ogni piano vi è un solo fuoco, 



