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EMILIO VENERONI 



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esclusi i punti della conica unita. Il piano della conica unita ha per fuochi tutti i 

 suoi punti e sega il connesso in un connesso identico. Si verificano poi facilmente le 

 seguenti proprietà: 



Ai punti di un piano corrispondono, come piani focali, i piani di un inviluppo 

 di 2 A classe cui appartiene il piano della conica unita. 



Ai punti di una retta corrispondono nello stesso modo i piani di un cono qua- 

 drico cui appartiene pure" il piano della conica unita. 



/ fochi dei piani di una stella sono su una quadrica (Q): i fochi dei piani di un 

 fascio sono i punti di una conica che incontra due volte la conica unita. 



Si osservi ancora che un connesso di questa specie è completamente determinato 

 se si danno ad arbitrio: la conica unita (e), il punto unito 0, le due rette fonda- 

 mentali a, b incidenti in (e), e il punto R dove la retta che uscendo da incide 

 le a, b, sega la quadrica (C). In tale ipotesi è costruibile infatti la quadrica (C) 

 colle condizioni che debba contenere (e), R, 0, e le rette che da si appoggiano 

 alle a, b, ed alla conica (e). E determinata allora la corrispondenza prospettiva fra 

 i piani per a e per b, e le generatrici di (C) e quindi il connesso. — Il quale per- 

 tanto ha tre invarianti che sono : detti L M gli appoggi con (e) delle generatrici 

 di (C) ; per : 1° il birapporto dei punti A B L M su (e), essendo A, B gli appoggi 

 con (e) di a, b ; 2° il birapporto (0 H a b) secondo cui H s'appoggia alle a, b ; 3° il 

 birapporto che determina su L (oppure su M) l'appoggio di a (o di b). 



12. — Sopra una quadrica (C) si fissi una generatrice a: i piani per a si rife- 

 riscano prospettivamente alle generatrici di (C), di sistema contrario ad a: si riferi- 

 scano poi proiettivamente le generatrici dello stesso sistema di a, ai piani passanti 

 per una retta arbitraria b. In tal caso a ogni punto di (C) corrisponde proiettiva- 

 mente una retta della congruenza di direttrici [a, b), e considerando le rette di questa 

 come assi di complessi speciali, si è costruito un connesso di cui a, b sono le rette 

 fondamentali, e la quadrica data è la quadrica (C) ; tale connesso possiede una cubica 

 gobba di punti uniti. Infatti se M è l'incontro di un piano per b colla corrispondente 

 generatrice di (C), l'asse del complesso speciale corrispondente al punto M sta nei 

 due piani Ma, M.b, epperò passa per M. — Dunque Esiste una cubica gobba (il luogo 

 dei punti M) formata di punti uniti, di cui una delle rette fondamentali (b) è corda, 

 mentre l'altra (a) è unisecante. 



Il connesso è determinato completamente quando si dieno la cubica unita e le 

 due rette fondamentali, di cui l'una, b, sia corda, l'altra a unisecante della cubica. 

 Infatti è nota in tal caso la quadrica (C) che deve contenere la cubica unita, e 

 l'unisecante, quindi la proiettività tra le generatrici di (C) appoggiantisi ad a e i 

 piani per a, ed essendo nota la cubica, è nota anche la proiettività fra i piani per b 

 e le generatrici dell'altro sistema: e quindi il connesso è determinato. — Esso ha 

 pertanto due invarianti che sono i due rapporti anarmonici, sulla cubica, che spet- 

 tano al gruppo formato dai punti d'appoggio della corda, dall'appoggio dell'unisecante, 

 e dai due punti in cui la cubica è segata dai due piani condotti per l'unisecante e 

 per ciascuno dei punti d'appoggio della corda. 



Alcune notevoli proprietà del connesso risultano dalla sua rappresentazione 

 analitica. Si assuma come vertice A t del tetraedro di riferimento in (SI) l'appoggio 



