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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 



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di a colla cubica : come retta A t A 2 la retta a stessa , come generatrice di (C) di 

 sistema contrario ad a, passante per Aj la A! A 3 che sarà una corda della cubica; 

 sia precisamente A 3 l'ulteriore suo appoggio colla cubica ; A 4 ed E (essendo E il 

 punto unità) sieno i punti della cubica posti su b, e sia infine A 4 A 2 la generatrice 

 di (C) di sistema contrario ad a, che passa per A 4 . Il fascio di piani di asse A! A 2 e 

 d'equazione 



\x 3 -\- \xx. x = 



si riferisca prospettivamente alle generatrici della quadrica (C) di sistema contrario 

 ad a, e il fascio di piani d'asse A 4 E == b proiettivamente alle generatrici dell' altro 

 sistema e quindi ai piani del fascio A^. — Le equazioni dei fasci A 4 E, A t A 3 sono 



h (xi — x 3 ) -f- k (x-i — x 3 ) = ax» -f- P #4 = 0. 



La proiettività è determinata da una relazione bilineare fra le ìi, k, et, (3 del tipo 



Iha + mak + nh§ + qk$ = 



nella quale dovrà però per le ipotesi fatte essere q = 0. Allora di ciascuno dei punti 

 A!A 2 A3A 4 E è ben determinato l'asse del complesso speciale corrispondente come 

 intersezione, rispettivamente, delle coppie di piani 



x 4 = x 3 = Xi = x ò = 



x 2 — x 3 = ; Xi — ;r 3 = 0; x v — x 2 = ; — m(xx — x 3 ) -{- l(x 2 — x 3 ) = 0; 



x 3 ■ x 4 — 

 m (x L — x 3 ) + (n — l) (x 3 —x 3 ) = 0. 



Ne segue che le equazioni dei cinque complessi speciali corrispondenti sono 



#34 + »42 = ; X2Z = ; x u -j~ x i2 = ; mx 13 — lx 23 = ; 

 — mx ì3 -f- mxn + (— »* — n + l) x 3i + (l — ■ n) x it + {l — n) # 23 == 



onde l'equazione del connesso è 



(9) (l — m — n)(x 3i + x^Xi — nx 23 x 2 + m(x u -f x t2 )x 3 — {mx n — lx 23 )Xi— 



che contiene il minor numero di costanti possibile. 



Qualche osservazione sul sistema dei raggi principali di un siffatto connesso. — 

 Il sistema delle quadriche (Q) degenera nella rete che ha per base la cubica unita. 

 Un piano generico sega il connesso in un connesso piano di cui i 3 punti della cubica 

 posti in quel piano sono i 3 punti uniti. — Dunque sono raggi principali del con- 

 nesso le corde della cubica. Inoltre se mediante la (9) cerchiamo le coordinate n r del 

 piano focale del punto x r , troviamo 



pr)i = — ■ mx 3 Xi~\- mx 3 x 4 = 



pr\ 2 = (l — m — n) x t Xì -f- n x.>x 3 -f- m x 3 x t — l x 3 x A 



pr)ji== — (l — n) XìXì — nx\-\-l x 2 x t 



prji — (.1 — w — n)(xiX 3 — XiX 2 ) -\- m{x v x 3 — x 2 x 3 ) . 



