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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 135 



tivamente i piani polari di A 3 A 4 rispetto al medesimo complesso. Con una scelta 

 opportuna del punto unità l'equazione del connesso si riduce tosto alla forma 



& X\ (Xl2 ^34) — \~ fai %3i ~\~ %3 ^it ~\~ %i %2i) ~~ • 



Il rapporto -~ non è però un'invariante del connesso, poiché con una trasfor- 

 mazione 



px r =h,.y r r= 1,2,3,4 



in cui le h r soddisfino alle sole condizioni 



h x hg = h a h 4 

 a p hi = et k h 2 



essendo a, p due costanti qualunque fissate, 1' equazione precedente si riduce alla 

 forma 



« yi {tfiz — iju) + P ÌMì l M + tk y$ + Vi Vn) = 



e ciò mostra che il rapporto ^ dipende dalla scelta del punto unità epperò II con- 

 nesso non ha invarianti assoluti. 



Il sistema delle quadriche (Q) è determinato dalle seguenti quattro 



Qi = Xi x, = Q 2 = x\ == Q 3 == xi x t = Q 4 — x x x % — 0. 



Cioè tutte le quadriche (Q) si spezzano nel piano fisso a L = e e in un piano variabile 

 che passa costantemente per il centro del fascio delle fondamentali. L'equazione del piano 

 variabile che insieme ad a! costituisce la quadrica (Q) corrispondente a un punto >/, 

 è precisamente 



y«»i — ftiv, + yax*— yiX 3 == o. 



Esso è, dunque, il piano polare del -punto y t stesso rispetto al complesso 



X±2 "^34 



' corrispondente al centro del fascio fondamentale. 



Quindi La corrispondenza nulla fra i piani e i loro fochi si riduce a una ordi- 

 naria polarità nulla. Tutte le rette dello spazio si possono riguardare come raggi 

 principali. 



Se poi oltre alle ipotesi sin qui fatte, accade anche che il piano fondamentale 

 coincida col piano r\ che oltre ad e compone (C), nel connesso oltre al piano di 

 punti uniti e, esiste, nel piano n, una retta di punti uniti che insieme alla e r] forma 

 la conica dei punti di n. che stanno sugli assi dei complessi corrispondenti. In tal 

 caso ogni piano per la retta unita sega il connesso in un connesso identico. Assu- 

 mendo ancora come punto fondamentale A t il centro del fascio delle fondamentali, 

 come piano n. il piano A! A 3 A 4 , e come piano A 2 A 3 A 4 il piano e, con opportuna 



